Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{x} - 3 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = e^{x} - 6 x$

Etapa 1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 6 x + e^{x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 6 x + e^{x}$ .

$- 6 x + e^{x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 6 x + e^{x} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 6 x + e^{x} = 0$

Etapa 2.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx 0.20448144, 2.83314789$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0.20448144, 2.83314789$ .

$0.20448144, 2.83314789$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0.20448144) \cup (0.20448144, 2.83314789) \cup (2.83314789, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0.20448144)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.79551855$ na expressão.

$f' (- 0.79551855) = - 6 \cdot - 0.79551855 + e^{- 0.79551855}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $- 6$ por $- 0.79551855$ .

$f' (- 0.79551855) = 4.7731113 + e^{- 0.79551855}$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.79551855) = 4.7731113 + \frac{1}{e^{0.79551855}}$

Etapa 5.2.2

Some $4.7731113$ e $\frac{1}{e^{0.79551855}}$ .

$f' (- 0.79551855) = 5.22445842$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $5.22445842$ .

$5.22445842$

Etapa 5.3

Em $x = - 0.79551855$ , a derivada é $5.22445842$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, 0.20448144)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0.20448144)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0.20448145, 2.83314789)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1.51881472$ na expressão.

$f' (1.51881472) = - 6 \cdot 1.51881472 + e^{1.51881472}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $- 6$ por $1.51881472$ .

$f' (1.51881472) = - 9.11288835 + e^{1.51881472}$

Etapa 6.2.2

Some $- 9.11288835$ e $e^{1.51881472}$ .

$f' (1.51881472) = - 4.54607928$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 4.54607928$ .

$- 4.54607928$

Etapa 6.3

Em $x = 1.51881472$ , a derivada é $- 4.54607928$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0.20448145, 2.83314789)$ .

Decréscimo em $(0.20448144, 2.83314789)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(2.83314789, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $3.833148$ na expressão.

$f' (3.833148) = - 6 \cdot 3.833148 + e^{3.833148}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $- 6$ por $3.833148$ .

$f' (3.833148) = - 22.998888 + e^{3.833148}$

Etapa 7.2.2

Some $- 22.998888$ e $e^{3.833148}$ .

$f' (3.833148) = 23.20888358$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $23.20888358$ .

$23.20888358$

Etapa 7.3

Em $x = 3.833148$ , a derivada é $23.20888358$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(2.83314789, \infty)$ .

Acréscimo em $(2.83314789, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, 0.20448144), (2.83314789, \infty)$

Decréscimo em: $(0.20448144, 2.83314789)$

Etapa 9