Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x - 1)}^{2} (2 x - 11)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 1) (x - 1) (2 x - 11))$

Etapa 1.1.2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x (x - 1) - 1 (x - 1)) (2 x - 11))$

Etapa 1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (2 x - 11))$

Etapa 1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x - 11))$

Etapa 1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x - 11))$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x - 11))$

Etapa 1.1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (2 x - 11))$

Etapa 1.1.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (2 x - 11))$

Etapa 1.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - x + 1) (2 x - 11))$

Etapa 1.1.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 2 x + 1) (2 x - 11))$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ e $g (x) = 2 x - 11$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} (2 x - 11) + (2 x - 11) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 1.1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 11$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)) + (2 x - 11) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 1.1.5.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 11)) + (2 x - 11) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 1.1.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 11)) + (2 x - 11) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 1.1.5.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} (- 11)) + (2 x - 11) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 1.1.5.5

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 11) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 1.1.5.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.5.6.1

Some $2$ e $0$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 11) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 1.1.5.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 2 x + 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot (x^{2} - 2 x + 1) + (2 x - 11) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 1.1.5.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 2 x + 1) + (2 x - 11) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 1.1.5.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 2 x + 1) + (2 x - 11) (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 1.1.5.9

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 2 x + 1) + (2 x - 11) (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 1.1.5.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 2 x + 1) + (2 x - 11) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 1.1.5.11

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 2 x + 1) + (2 x - 11) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 1.1.5.12

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 2 x + 1) + (2 x - 11) (2 x - 2 + 0)$

Etapa 1.1.5.13

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 2 x + 1) + (2 x - 11) (2 x - 2)$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1 + (2 x - 11) (2 x - 2)$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1 + (2 x - 11) (2 x) + (2 x - 11) \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1 + 2 x (2 x) - 11 (2 x) + (2 x - 11) \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1 + 2 x (2 x) - 11 (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 11 \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1 + 2 x (2 x) - 11 (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 11 \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 2 x (2 x) - 11 (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 11 \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.5.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 4 x \cdot x - 11 (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 11 \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.5.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 4 (x \cdot x) - 11 (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 11 \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.5.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 4 (x \cdot x) - 11 (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 11 \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.5.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 4 x^{1 + 1} - 11 (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 11 \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.5.7

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 4 x^{2} - 11 (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 11 \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.5.8

Multiplique $2$ por $- 11$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 4 x^{2} - 22 x + 2 x \cdot - 2 - 11 \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.5.9

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 4 x^{2} - 22 x - 4 x - 11 \cdot - 2$

Etapa 1.1.6.5.10

Multiplique $- 11$ por $- 2$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 4 x^{2} - 22 x - 4 x + 22$

Etapa 1.1.6.5.11

Subtraia $4 x$ de $- 22 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 + 4 x^{2} - 26 x + 22$

Etapa 1.1.6.5.12

Some $2 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 4 x + 2 - 26 x + 22$

Etapa 1.1.6.5.13

Subtraia $26 x$ de $- 4 x$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 2 + 22$

Etapa 1.1.6.5.14

Some $2$ e $22$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} - 30 x + 24$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} - 30 x + 24 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} - 30 x + 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 30 x + 24 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $6$ de $- 30 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 5 x) + 24 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $6$ de $24$ .

$6 x^{2} + 6 (- 5 x) + 6 \cdot 4 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 6 (- 5 x)$ .

$6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot 4 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot 4$ .

$6 (x^{2} - 5 x + 4) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 5 x + 4$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $4$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 4, - 1$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 ((x - 4) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (x - 4) (x - 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 (x - 4) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, 1$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $4, 1$ .

$4, 1$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 6 {(0)}^{2} - 30 \cdot 0 + 24$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 6 \cdot 0 - 30 \cdot 0 + 24$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $6$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 30 \cdot 0 + 24$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 30$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 24$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 24$

Etapa 5.2.2.2

Some $0$ e $24$ .

$f' (0) = 24$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $24$ .

$24$

Etapa 5.3

Em $x = 0$ , a derivada é $24$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, 1)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 1)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(1, 4)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{5}{2}) = 6 {(\frac{5}{2})}^{2} - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{25}{2^{2}}) - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{25}{4}) - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

Etapa 6.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 2 (3) (\frac{25}{4}) - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

Etapa 6.2.1.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{25}{2 \cdot 2})) - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

Etapa 6.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{25}{2 \cdot 2})) - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

Etapa 6.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{5}{2}) = 3 (\frac{25}{2}) - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

Etapa 6.2.1.5

Combine $3$ e $\frac{25}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{3 \cdot 25}{2} - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $3$ por $25$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 30 (\frac{5}{2}) + 24$

Etapa 6.2.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.7.1

Fatore $2$ de $- 30$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + 2 (- 15) (\frac{5}{2}) + 24$

Etapa 6.2.1.7.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + 2 \cdot (- 15 (\frac{5}{2})) + 24$

Etapa 6.2.1.7.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 15 \cdot 5 + 24$

Etapa 6.2.1.8

Multiplique $- 15$ por $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 75 + 24$

Etapa 6.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Escreva $- 75$ como uma fração com denominador $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75}{1} + 24$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $\frac{- 75}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75}{1} \cdot \frac{2}{2} + 24$

Etapa 6.2.2.3

Multiplique $\frac{- 75}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + 24$

Etapa 6.2.2.4

Escreva $24$ como uma fração com denominador $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{24}{1}$

Etapa 6.2.2.5

Multiplique $\frac{24}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{24}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 6.2.2.6

Multiplique $\frac{24}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{24 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 75 \cdot 2 + 24 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Multiplique $- 75$ por $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 150 + 24 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.4.2

Multiplique $24$ por $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 150 + 48}{2}$

Etapa 6.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.5.1

Subtraia $150$ de $75$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 75 + 48}{2}$

Etapa 6.2.5.2

Some $- 75$ e $48$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 27}{2}$

Etapa 6.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{27}{2}$

Etapa 6.2.6

A resposta final é $- \frac{27}{2}$ .

$- \frac{27}{2}$

Etapa 6.3

Em $x = \frac{5}{2}$ , a derivada é $- \frac{27}{2}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(1, 4)$ .

Decréscimo em $(1, 4)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(4, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f' (5) = 6 {(5)}^{2} - 30 \cdot 5 + 24$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f' (5) = 6 \cdot 25 - 30 \cdot 5 + 24$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $6$ por $25$ .

$f' (5) = 150 - 30 \cdot 5 + 24$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 30$ por $5$ .

$f' (5) = 150 - 150 + 24$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Subtraia $150$ de $150$ .

$f' (5) = 0 + 24$

Etapa 7.2.2.2

Some $0$ e $24$ .

$f' (5) = 24$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $24$ .

$24$

Etapa 7.3

Em $x = 5$ , a derivada é $24$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(4, \infty)$ .

Acréscimo em $(4, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, 1), (4, \infty)$

Decréscimo em: $(1, 4)$

Etapa 9