Cálculo Exemplos

$f (x) = x - 4 \sqrt{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4 \sqrt{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.2.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 1.1.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.1.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 1.1.2.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 1.1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 1.1.2.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.2.10

Combine $- 4$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 1.1.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.12

Fatore $2$ de $- 4$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.2.13.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 1.1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = 1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{\frac{1}{2}}, 1$

Etapa 2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ por $x^{\frac{1}{2}}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ para o numerador.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 2 = - x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ .

$- x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2.2

Divida $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

Etapa 2.5.3

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o expoente.

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Etapa 2.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.4.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.5.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.5.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Etapa 2.5.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 2^{2}$

Etapa 2.5.4.1.1.2

Simplifique.

$x = 2^{2}$

Etapa 2.5.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.4.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = 4$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $4$ .

$4$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 4.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Etapa 4.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Etapa 4.2

Defina o denominador em $\frac{2}{\sqrt{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{x} = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{2}$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.4

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x < 0$

Etapa 4.5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1.1.1

Reescreva ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{\sqrt{- 1}}$

Etapa 6.2.1.1.2

Avalie o expoente.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{\sqrt{- 1}}$

Etapa 6.2.1.1.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{i}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique o numerador e o denominador de $\frac{2}{i}$ pelo conjugado de $i$ para tornar o denominador real.

$f' (- 1) = 1 - (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i})$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique.

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Etapa 6.2.1.3.1

Combine.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Etapa 6.2.1.3.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1.3.2.1

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Etapa 6.2.1.3.2.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Etapa 6.2.1.3.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i^{1 + 1}}$

Etapa 6.2.1.3.2.4

Some $1$ e $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i^{2}}$

Etapa 6.2.1.3.2.5

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{- 1}$

Etapa 6.2.1.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 i}{- 1}$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 1 \cdot (2 i))$

Etapa 6.2.1.5

Reescreva $- 1 \cdot (2 i)$ como $- (2 i)$ .

$f' (- 1) = 1 + 2 i$

Etapa 6.2.1.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 2 i)$

Etapa 6.2.1.7

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 + 2 i$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $1 + 2 i$ .

$1 + 2 i$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $1 + 2 i$ . Por conter um número imaginário, a função não existe em $(- \infty, 0)$ .

A função não é real em $(- \infty, 0)$ , porque $f' (x)$ é imaginário

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, 4)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 1 - \frac{2}{{(2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Mova ${(2)}^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = 1 - (2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1.2.1

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f' (2) = 1 - (2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 7.2.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (2) = 1 - 2^{1 - \frac{1}{2}}$

Etapa 7.2.1.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Etapa 7.2.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{2 - 1}{2}}$

Etapa 7.2.1.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{1}{2}}$

Etapa 7.2.2

A resposta final é $1 - 2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 2^{\frac{1}{2}}$

Etapa 7.3

Simplifique.

$- 0.41421356$

Etapa 7.4

Em $x = 2$ , a derivada é $- 0.41421356$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 4)$ .

Decréscimo em $(0, 4)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(4, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f' (5) = 1 - \frac{2}{{(5)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Remova os parênteses.

$f' (5) = 1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.2

A resposta final é $1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

$0.1055728$

Etapa 8.4

Em $x = 5$ , a derivada é $0.1055728$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(4, \infty)$ .

Acréscimo em $(4, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(4, \infty)$

Decréscimo em: $(0, 4)$

Etapa 10