Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{1}{4 x}}{3 x + \frac{1}{x}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x - \frac{1}{4 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x - lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Etapa 1.2.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty - lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Etapa 1.2.1.3

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\infty - \frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Etapa 1.2.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\infty - \frac{1}{4} \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $- \frac{1}{4} \cdot 0$ .

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Etapa 1.2.3.1.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{\infty + 0 (\frac{1}{4})}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $0$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\infty + 0}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Etapa 1.2.3.2

Some $\infty$ e $0$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x + \frac{1}{x}}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 1.3.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 1.3.2

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\infty}{\infty + 0}$

Etapa 1.3.3

Some $\infty$ e $0$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.3.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{1}{4 x}}{3 x + \frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x - \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - \frac{1}{4 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Etapa 3.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x}]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- \frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{4 x}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Etapa 3.4.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{1}{4} (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + 1 (\frac{1}{4}) x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Etapa 3.4.5

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{4} x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Etapa 3.4.6

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{- 2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{x^{- 2}}{4}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Etapa 3.4.7

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{4 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Etapa 3.5

Reordene os termos.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{\frac{d}{d x} [3 x + \frac{1}{x}]}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 3.7.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.7.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 3.8.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Etapa 3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 - x^{- 2}}$

Etapa 3.9

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{3 - \frac{1}{x^{2}}}$

Etapa 3.10

Reordene os termos.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

Etapa 4

Combine os termos.

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Etapa 4.1

Para escrever $6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + 6 \cdot \frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

Etapa 4.2

Combine $6$ e $\frac{4 x^{2}}{4 x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{4 x^{2}} + \frac{6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

Etapa 4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + 3}$

Etapa 4.4

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{\frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1 + 6 (4 x^{2})}{4 x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 5.2

Mova o termo $\frac{1}{4}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1 + 6 (4 x^{2})}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 5.3

Multiplique $4$ por $6$ .

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1 + 24 x^{2}}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 6

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{2}$ .

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{24 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 7

Avalie o limite.

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 7.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{24 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 7.1.2

Divida $24$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + 24}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + 24}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 7.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{2}} + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 7.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 7.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 8

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + lim_{x \to \infty} 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 9

Avalie o limite.

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Etapa 9.1

Avalie o limite de $24$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 9.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 10

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{2}$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 11

Avalie o limite.

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Etapa 11.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 11.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 11.1.2

Divida $3$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 3}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 11.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 3}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 11.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 3}{1}}$

Etapa 11.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x^{2}} + 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Etapa 11.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Etapa 12

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{- 0 + lim_{x \to \infty} 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Etapa 13

Avalie o limite.

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Etapa 13.1

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{0 + 3}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Etapa 13.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 24}{1}}{\frac{0 + 3}{1}}$

Etapa 13.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.3.1

Divida $0 + 24$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{4} (0 + 24)}{\frac{0 + 3}{1}}$

Etapa 13.3.2

Divida $0 + 3$ por $1$ .

$\frac{\frac{1}{4} (0 + 24)}{0 + 3}$

Etapa 13.3.3

Cancele o fator comum de $0 + 24$ e $0 + 3$ .

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Etapa 13.3.3.1

Fatore $3$ de $\frac{1}{4} (0 + 24)$ .

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{0 + 3}$

Etapa 13.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.3.3.2.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 (0) + 3}$

Etapa 13.3.3.2.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 \cdot 0 + 3 \cdot 1}$

Etapa 13.3.3.2.3

Fatore $3$ de $3 \cdot 0 + 3 \cdot 1$ .

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 \cdot (0 + 1)}$

Etapa 13.3.3.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (\frac{1}{4} (0 + 8))}{3 \cdot (0 + 1)}$

Etapa 13.3.3.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{1}{4} (0 + 8)}{0 + 1}$

Etapa 13.3.4

Some $0$ e $8$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 8}{0 + 1}$

Etapa 13.3.5

Some $0$ e $1$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 8}{1}$

Etapa 13.3.6

Combine $\frac{1}{4}$ e $8$ .

$\frac{\frac{8}{4}}{1}$

Etapa 13.3.7

Divida $8$ por $4$ .

$\frac{2}{1}$

Etapa 13.3.8

Divida $2$ por $1$ .

$2$