Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{(\ln (x))}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

Etapa 1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

Etapa 1.3

À medida que $x$ se aproxima de $\infty$ dos radicais, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\ln (x))}{\sqrt{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

Etapa 3.3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}$

Etapa 3.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Etapa 3.6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Etapa 3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}$

Etapa 3.8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}$

Etapa 3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 3.10

Simplifique.

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Etapa 3.10.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} (2 \sqrt{x})$

Etapa 6

Combine os fatores.

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Etapa 6.1

Combine $2$ e $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} \sqrt{x}$

Etapa 6.2

Combine $\frac{2}{x}$ e $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x}$

Etapa 7

Reduza.

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Etapa 7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{x}$

Etapa 7.2

Fatore $x$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Etapa 7.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x^{1}}$

Etapa 7.3.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Etapa 7.3.3

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x \cdot 1}$

Etapa 7.3.4

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Etapa 7.3.5

Divida $2 x^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2 x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 7.4

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ se aproxima de $0$ .

$2 \cdot 0$

Etapa 10

Multiplique $2$ por $0$ .

$0$