Cálculo Exemplos

$lim_{t \to 0} \frac{1 + t - e^{- t}}{\ln (t + 1)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} 1 + t - e^{- t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} t - lim_{t \to 0} e^{- t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 + lim_{t \to 0} t - lim_{t \to 0} e^{- t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Etapa 1.2.3

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1 + lim_{t \to 0} t - e^{lim_{t \to 0} - t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Etapa 1.2.4

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{1 + lim_{t \to 0} t - e^{- lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Etapa 1.2.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{1 + 0 - e^{- lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Etapa 1.2.5.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{1 + 0 - e^{0}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Etapa 1.2.6.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Etapa 1.2.6.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Etapa 1.2.6.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} t + 1)}$

Etapa 1.3.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 1)}$

Etapa 1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} t + 1)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$\frac{0}{\ln (0 + 1)}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Some $0$ e $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Etapa 1.3.3.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{1 + t - e^{- t}}{\ln (t + 1)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [1 + t - e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [1 + t - e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + t - e^{- t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Etapa 3.5

Avalie $\frac{d}{d t} [- e^{- t}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- e^{- t}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - \frac{d}{d t} [e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t])}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Etapa 3.5.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- t])}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Etapa 3.5.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Etapa 3.5.3

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Etapa 3.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Etapa 3.5.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} \cdot - 1)}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Etapa 3.5.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (- 1 e^{- t})}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Etapa 3.5.7

Reescreva $- 1 e^{- t}$ como $- e^{- t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - - e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Etapa 3.5.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 + 1 e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Etapa 3.5.9

Multiplique $e^{- t}$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 + e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Etapa 3.6

Some $0$ e $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = t + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $t + 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1]}$

Etapa 3.7.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1]}$

Etapa 3.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t + 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1]}$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1])}$

Etapa 3.10

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} (1 + 0)}$

Etapa 3.11

Some $1$ e $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} \cdot 1}$

Etapa 3.12

Multiplique $\frac{1}{t + 1}$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{t \to 0} (1 + e^{- t}) (t + 1)$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$lim_{t \to 0} 1 + e^{- t} \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$(lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} e^{- t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Etapa 7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $0$ .

$(1 + lim_{t \to 0} e^{- t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Etapa 8

Mova o limite para o expoente.

$(1 + e^{lim_{t \to 0} - t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Etapa 9

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$(1 + e^{- lim_{t \to 0} t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $0$ .

$(1 + e^{- lim_{t \to 0} t}) \cdot (lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 1)$

Etapa 11

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $0$ .

$(1 + e^{- lim_{t \to 0} t}) \cdot (lim_{t \to 0} t + 1)$

Etapa 12

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$(1 + e^{0}) \cdot (lim_{t \to 0} t + 1)$

Etapa 12.2

Avalie o limite de $t$ substituindo $0$ por $t$ .

$(1 + e^{0}) \cdot (0 + 1)$

Etapa 13

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$(1 + 1) \cdot (0 + 1)$

Etapa 13.2

Some $1$ e $1$ .

$2 \cdot (0 + 1)$

Etapa 13.3

Some $0$ e $1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 13.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$