Cálculo Exemplos

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \tan (θ^{\cos (θ)})$

Etapa 1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\tan (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ^{\cos (θ)})$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 2.1

Reescreva $θ^{\cos (θ)}$ como $e^{\ln (θ^{\cos (θ)})}$ .

$\tan (lim_{θ \to \frac{π}{2}} e^{\ln (θ^{\cos (θ)})})$

Etapa 2.2

Expanda $\ln (θ^{\cos (θ)})$ movendo $\cos (θ)$ para fora do logaritmo.

$\tan (lim_{θ \to \frac{π}{2}} e^{\cos (θ) \ln (θ)})$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o limite para o expoente.

$\tan (e^{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ) \ln (θ)})$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\tan (e^{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \ln (θ)})$

Etapa 3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\tan (e^{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \ln (θ)})$

Etapa 3.4

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\tan (e^{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot \ln (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)})$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{2}$ por todas as ocorrências de $θ$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$\tan (e^{\cos (\frac{π}{2}) \cdot \ln (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)})$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$\tan (e^{\cos (\frac{π}{2}) \cdot \ln (\frac{π}{2})})$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\tan (e^{0 \cdot \ln (\frac{π}{2})})$

Etapa 5.2

Simplifique $0 \cdot \ln (\frac{π}{2})$ movendo $0$ para dentro do logaritmo.

$\tan (e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{0})})$

Etapa 5.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\tan ({(\frac{π}{2})}^{0})$

Etapa 5.4

Aplique a regra do produto a $\frac{π}{2}$ .

$\tan (\frac{π^{0}}{2^{0}})$

Etapa 5.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\tan (\frac{1}{2^{0}})$

Etapa 5.6

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\tan (\frac{1}{1})$

Etapa 5.7

Divida $1$ por $1$ .

$\tan (1)$

Etapa 5.8

Avalie $\tan (1)$ .

$1.55740772$