Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - x - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Etapa 1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x, 1, 1$

Etapa 2.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ por $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.1

Mova $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x}$ para o numerador.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $0$ por $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

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Etapa 2.4.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.4.1.1

Reordene os termos.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Etapa 2.4.1.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 2.4.1.2.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Etapa 2.4.1.2.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Etapa 2.4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Etapa 2.4.1.2.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Etapa 2.4.1.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.4.1.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Etapa 2.4.1.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Etapa 2.4.1.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 2.4.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.3

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.3.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 2.4.3.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 2.4.3.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.4.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.4.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.4.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.4.5

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $x^{2} - x - \ln (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- \frac{1}{2}$ por $x$ .

${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- \frac{1}{2}) - \ln (- \frac{1}{2})$

Etapa 4.1.2

O logaritmo natural de um número negativo é indefinido.

Indefinido

Etapa 4.2

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

${(1)}^{2} - (1) - \ln (1)$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - (1) - \ln (1)$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 - 1 - \ln (1)$

Etapa 4.2.2.1.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$1 - 1 - 0$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$1 - 1 + 0$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$0 + 0$

Etapa 4.2.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} - (0) - \ln (0)$

Etapa 4.3.2

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(1, 0)$

Etapa 5