Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 \tan^{-1} (x)$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (x)]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\tan^{-1} (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{1}{1 + x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Etapa 1.1.2.3

Combine $5$ e $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 \frac{d}{d x} x^{3}$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1.1

Para escrever $- 9 x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.4.1.2

Combine $- 9 x^{2}$ e $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.4.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{5 - 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Etapa 1.1.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5 = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 9 x^{2} \cdot 1 - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$- 9 x^{2} - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Mova $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2}) + 5 = 0$

Etapa 2.3.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 9 x^{2} - 9 x^{2 + 2} + 5 = 0$

Etapa 2.3.1.3.3

Some $2$ e $2$ .

$- 9 x^{2} - 9 x^{4} + 5 = 0$

Etapa 2.3.2

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$- 9 u^{2} - 9 u + 5 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 2.3.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.3.4

Substitua os valores $a = - 9$ , $b = - 9$ e $c = 5$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot 5)}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.1

Eleve $- 9$ à potência de $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.5.1.2.2

Multiplique $36$ por $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.5.1.3

Some $81$ e $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.5.1.4

Reescreva $261$ como $3^{2} \cdot 29$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.4.1

Fatore $9$ de $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.5.1.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Etapa 2.3.5.3

Simplifique $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Etapa 2.3.5.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1.1

Eleve $- 9$ à potência de $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.6.1.2.2

Multiplique $36$ por $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.6.1.3

Some $81$ e $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.6.1.4

Reescreva $261$ como $3^{2} \cdot 29$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1.4.1

Fatore $9$ de $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.6.1.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Etapa 2.3.6.3

Simplifique $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Etapa 2.3.6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Etapa 2.3.6.5

Altere $\pm$ para $+$ .

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}$

Etapa 2.3.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1.1

Eleve $- 9$ à potência de $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.7.1.2.2

Multiplique $36$ por $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.7.1.3

Some $81$ e $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.7.1.4

Reescreva $261$ como $3^{2} \cdot 29$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1.4.1

Fatore $9$ de $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.7.1.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Etapa 2.3.7.2

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Etapa 2.3.7.3

Simplifique $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Etapa 2.3.7.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Etapa 2.3.7.5

Altere $\pm$ para $-$ .

$u = - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

Etapa 2.3.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}, - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

Etapa 2.3.9

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = - 1.39752746$

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

Etapa 2.3.10

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = - 1.39752746$

Etapa 2.3.11

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.39752746}$

Etapa 2.3.11.2

Simplifique $\pm \sqrt{- 1.39752746}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.2.1

Reescreva $- 1.39752746$ como $- 1 (1.39752746)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.39752746)}$

Etapa 2.3.11.2.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (1.39752746)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$

Etapa 2.3.11.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{1.39752746}$

Etapa 2.3.11.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{1.39752746}$

Etapa 2.3.11.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{1.39752746}$

Etapa 2.3.11.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}$

Etapa 2.3.12

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

Etapa 2.3.13

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.13.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = 0.39752746$

Etapa 2.3.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.39752746}$

Etapa 2.3.13.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.13.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{0.39752746}$

Etapa 2.3.13.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{0.39752746}$

Etapa 2.3.13.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

Etapa 2.3.14

A solução para $- 9 x^{4} - 9 x^{2} + 5 = 0$ é $x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$ .

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = \sqrt{0.39752746}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $\sqrt{0.39752746}$ por $x$ .

$5 \tan^{-1} (\sqrt{0.39752746}) - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Avalie $\tan^{-1} (\sqrt{0.39752746})$ .

$5 \cdot 0.56254301 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $5$ por $0.56254301$ .

$2.81271509 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Etapa 4.1.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ como $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ .

$2.81271509 - 3 \sqrt{{0.39752746}^{3}}$

Etapa 4.1.2.1.4

Eleve $0.39752746$ à potência de $3$ .

$2.81271509 - 3 \sqrt{0.0628205}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $3 \sqrt{0.0628205}$ de $2.81271509$ .

$2.06079452$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - \sqrt{0.39752746}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $- \sqrt{0.39752746}$ por $x$ .

$5 \tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746}) - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Avalie $\tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746})$ .

$5 \cdot - 0.56254301 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $5$ por $- 0.56254301$ .

$- 2.81271509 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Etapa 4.2.2.1.3

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{0.39752746}$ .

$- 2.81271509 - 3 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

Etapa 4.2.2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 2.81271509 - 3 (- {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

Etapa 4.2.2.1.5

Reescreva ${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ como $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ .

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{{0.39752746}^{3}})$

Etapa 4.2.2.1.6

Eleve $0.39752746$ à potência de $3$ .

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{0.0628205})$

Etapa 4.2.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$- 2.81271509 + 3 \sqrt{0.0628205}$

Etapa 4.2.2.2

Some $- 2.81271509$ e $3 \sqrt{0.0628205}$ .

$- 2.06079452$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(\sqrt{0.39752746}, 2.06079452), (- \sqrt{0.39752746}, - 2.06079452)$

Etapa 5