Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x - 2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ e $g (x) = x - 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 4) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Some $2 x - 3$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.10

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.11.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(x - 2) (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.1

Expanda $(x - 2) (2 x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3) - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.1.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.2

Subtraia $4 x$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} - (- 3 x) + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 6 + 3 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.3

Some $- 7 x$ e $3 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 6 + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2.4

Some $6$ e $4$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x^{2} - 4 x + 10 = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.3.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = 10$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $10$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.3.1.3

Subtraia $40$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.3.1.4

Reescreva $- 24$ como $- 1 (24)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (24)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.3.1.7

Reescreva $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.7.1

Fatore $4$ de $24$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.3.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Etapa 2.3.3.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

Etapa 2.3.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $10$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.4.1.3

Subtraia $40$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.4.1.4

Reescreva $- 24$ como $- 1 (24)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (24)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.4.1.7

Reescreva $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1.7.1

Fatore $4$ de $24$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.4.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.4.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Etapa 2.3.4.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

Etapa 2.3.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 2 + i \sqrt{6}$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $10$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.5.1.3

Subtraia $40$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.5.1.4

Reescreva $- 24$ como $- 1 (24)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (24)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.5.1.7

Reescreva $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.7.1

Fatore $4$ de $24$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.5.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.5.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Etapa 2.3.5.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{6}$

Etapa 2.3.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 2 - i \sqrt{6}$

Etapa 2.3.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 2 + i \sqrt{6}, 2 - i \sqrt{6}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} - 4 x + 10}{{(x - 2)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4

Avalie $\frac{x^{2} - 3 x - 4}{x - 2}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 4}{(2) - 2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 4}{0}$

Etapa 4.1.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado