Cálculo Exemplos

$y = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Etapa 1

Escreva $y = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ como uma função.

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{2} - 5)}^{4}] + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2} - 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 5]) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 5]) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2} - 5$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 5]) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.6

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{1}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$x (\frac{4}{2} {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.6.3

Combine $\frac{4}{2}$ e ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$x \frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.6.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.4.1

Fatore $2$ de $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.6.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.6.4.2.2

Cancele o fator comum.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.6.4.2.3

Reescreva a expressão.

$x \frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.6.4.2.4

Divida $2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ por $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

Etapa 2.3.8

Multiplique ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ por $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ de $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

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Etapa 2.4.1.1

Reordene $x$ e $2$ .

$2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Etapa 2.4.1.2

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ de $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Etapa 2.4.1.3

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

Etapa 2.4.1.4

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Para escrever $2 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Etapa 2.4.2.2

Combine $2 x$ e $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Etapa 2.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

Etapa 2.4.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

Etapa 2.4.2.5

Some $4 x$ e $x$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ e $g (x) = \frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 5) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{5 x}{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Etapa 3.2.2

Como $\frac{5}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Etapa 3.2.4

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Etapa 3.2.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Etapa 3.2.6

Combine frações.

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Etapa 3.2.6.1

Some $\frac{5}{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Etapa 3.2.6.2

Combine ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ e $\frac{5}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Etapa 3.2.6.3

Mova $5$ para a esquerda de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Etapa 3.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Mova $3$ para a esquerda de $\frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)$

Etapa 3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Etapa 3.4.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Etapa 3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Etapa 3.4.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))$

Etapa 3.4.6

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Etapa 3.4.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.7.1

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2})$

Etapa 3.4.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})$

Etapa 3.4.7.3

Combine ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ e $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Etapa 3.4.7.4

Mova $3$ para a esquerda de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Etapa 3.5

Para escrever $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.6

Combine $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Etapa 3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Etapa 3.8

Combine $2$ e $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Etapa 3.9

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Etapa 3.10

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Fatore $2$ de $6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Etapa 3.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Etapa 3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Etapa 3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Etapa 3.10.2.4

Divida $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Etapa 3.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ de $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1.1

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ de $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Etapa 3.11.1.1.2

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ de $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Etapa 3.11.1.1.3

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5) + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Etapa 3.11.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Etapa 3.11.1.3

Combine $5$ e $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Etapa 3.11.1.4

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Etapa 3.11.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 5)}{2}$

Etapa 3.11.1.6

Multiplique $3 \frac{5 x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.6.1

Combine $3$ e $\frac{5 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Etapa 3.11.1.6.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Etapa 3.11.1.7

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} - 15)}{2}$

Etapa 3.11.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 25 - 15)}{2}$

Etapa 3.11.1.9

Subtraia $15$ de $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Etapa 3.11.1.10

Para escrever $- 5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Etapa 3.11.1.11

Combine $- 5$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Etapa 3.11.1.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Etapa 3.11.1.13

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Etapa 3.11.1.14

Some $5 x$ e $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 40)}{2}$

Etapa 3.11.1.15

Cancele o fator comum de $20$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.15.1

Fatore $2$ de $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 40)}{2}$

Etapa 3.11.1.15.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.15.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 40)}{2}$

Etapa 3.11.1.15.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 40)}{2}$

Etapa 3.11.1.15.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 40)}{2}$

Etapa 3.11.1.15.2.4

Divida $10 x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (10 x - 40)}{2}$

Etapa 3.11.1.16

Aplique a regra do produto a $\frac{x - 10}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 40)}{2}$

Etapa 3.11.1.17

Fatore $10$ de $10 x - 40$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.17.1

Fatore $10$ de $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x) - 40)}{2}$

Etapa 3.11.1.17.2

Fatore $10$ de $- 40$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x + 10 \cdot - 4)}{2}$

Etapa 3.11.1.17.3

Fatore $10$ de $10 x + 10 \cdot - 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x - 4))}{2}$

Etapa 3.11.1.18

Combine $\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}}$ e $10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{2^{2}} \cdot (x - 4)}{2}$

Etapa 3.11.1.19

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Etapa 3.11.1.20

Cancele o fator comum de $10$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.20.1

Fatore $2$ de ${(x - 10)}^{2} \cdot 10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Etapa 3.11.1.20.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.20.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 (2)} \cdot (x - 4)}{2}$

Etapa 3.11.1.20.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 \cdot 2} \cdot (x - 4)}{2}$

Etapa 3.11.1.20.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 5}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Etapa 3.11.1.21

Mova $5$ para a esquerda de ${(x - 10)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Etapa 3.11.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2})}{2}$

Etapa 3.11.3

Fatore $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ de $\frac{(x - 4) \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$

Etapa 3.11.4

Multiplique $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.1

Multiplique $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ por $\frac{x - 4}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.11.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{4}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.3.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.3.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.3.6

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.6.1

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2})) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.3.6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f' (x) = x (\frac{4}{2} \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.3.6.3

Combine $\frac{4}{2}$ e ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.6.4.1

Fatore $2$ de $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.3.6.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.6.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.3.6.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.3.6.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = x (\frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.3.6.4.2.4

Divida $2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 5.1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

Etapa 5.1.3.8

Multiplique ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ por $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ de $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1.1

Reordene $x$ e $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Etapa 5.1.4.1.2

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ de $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Etapa 5.1.4.1.3

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

Etapa 5.1.4.1.4

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

Etapa 5.1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1

Para escrever $2 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Etapa 5.1.4.2.2

Combine $2 x$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Etapa 5.1.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

Etapa 5.1.4.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

Etapa 5.1.4.2.5

Some $4 x$ e $x$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$

Etapa 6.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} = 0$

$\frac{5 x}{2} - 5 = 0$

Etapa 6.3

Defina ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Defina ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ como igual a $0$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} = 0$

Etapa 6.3.2

Resolva ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Defina $\frac{x}{2} - 5$ como igual a $0$ .

$\frac{x}{2} - 5 = 0$

Etapa 6.3.2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$\frac{x}{2} = 5$

Etapa 6.3.2.2.2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 5$

Etapa 6.3.2.2.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 5$

Etapa 6.3.2.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 \cdot 5$

Etapa 6.3.2.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.3.2.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = 10$

Etapa 6.4

Defina $\frac{5 x}{2} - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina $\frac{5 x}{2} - 5$ como igual a $0$ .

$\frac{5 x}{2} - 5 = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $\frac{5 x}{2} - 5 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$\frac{5 x}{2} = 5$

Etapa 6.4.2.2

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 5$

Etapa 6.4.2.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1.1

Simplifique $\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 5$

Etapa 6.4.2.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 5$

Etapa 6.4.2.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1.1.2.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{2}{5} \cdot 5$

Etapa 6.4.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 5$

Etapa 6.4.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{5} \cdot 5$

Etapa 6.4.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2}{5} \cdot 5$

Etapa 6.4.2.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2$

Etapa 6.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 10, 2$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 10, 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 10$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{5 {((10) - 10)}^{2} ((10) - 4)}{4}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Cancele o fator comum de $(10) - 4$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Fatore $2$ de $5 {((10) - 10)}^{2} ((10) - 4)$ .

$\frac{2 (5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2))}{4}$

Etapa 10.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2))}{2 (2)}$

Etapa 10.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2))}{2 \cdot 2}$

Etapa 10.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2)}{2}$

Etapa 10.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Subtraia $10$ de $10$ .

$\frac{5 \cdot 0^{2} (5 - 2)}{2}$

Etapa 10.2.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$\frac{5 \cdot 0^{2} \cdot 3}{2}$

Etapa 10.2.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{15 \cdot 0^{2}}{2}$

Etapa 10.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{15 \cdot 0}{2}$

Etapa 10.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Multiplique $15$ por $0$ .

$\frac{0}{2}$

Etapa 10.3.2

Divida $0$ por $2$ .

$0$

Etapa 11

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 2) \cup (2, 10) \cup (10, \infty)$

Etapa 11.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, 2)$ na primeira derivada ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = {(\frac{0}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

Etapa 11.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Divida $0$ por $2$ .

$f' (0) = {(0 - 5)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

Etapa 11.2.2.2

Subtraia $5$ de $0$ .

$f' (0) = {(- 5)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

Etapa 11.2.2.3

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$f' (0) = - 125 (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

Etapa 11.2.2.4

Multiplique $5$ por $0$ .

$f' (0) = - 125 (\frac{0}{2} - 5)$

Etapa 11.2.2.5

Divida $0$ por $2$ .

$f' (0) = - 125 (0 - 5)$

Etapa 11.2.2.6

Subtraia $5$ de $0$ .

$f' (0) = - 125 \cdot - 5$

Etapa 11.2.2.7

Multiplique $- 125$ por $- 5$ .

$f' (0) = 625$

Etapa 11.2.2.8

A resposta final é $625$ .

$625$

Etapa 11.3

Substitua qualquer número, como $6$ , do intervalo $(2, 10)$ na primeira derivada ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 11.3.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = {(\frac{6}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

Etapa 11.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.3.2.1

Divida $6$ por $2$ .

$f' (6) = {(3 - 5)}^{3} (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

Etapa 11.3.2.2

Subtraia $5$ de $3$ .

$f' (6) = {(- 2)}^{3} (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

Etapa 11.3.2.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (6) = - 8 (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

Etapa 11.3.2.4

Multiplique $5$ por $6$ .

$f' (6) = - 8 (\frac{30}{2} - 5)$

Etapa 11.3.2.5

Divida $30$ por $2$ .

$f' (6) = - 8 (15 - 5)$

Etapa 11.3.2.6

Subtraia $5$ de $15$ .

$f' (6) = - 8 \cdot 10$

Etapa 11.3.2.7

Multiplique $- 8$ por $10$ .

$f' (6) = - 80$

Etapa 11.3.2.8

A resposta final é $- 80$ .

$- 80$

Etapa 11.4

Substitua qualquer número, como $12$ , do intervalo $(10, \infty)$ na primeira derivada ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 11.4.1

Substitua a variável $x$ por $12$ na expressão.

$f' (12) = {(\frac{12}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

Etapa 11.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.4.2.1

Divida $12$ por $2$ .

$f' (12) = {(6 - 5)}^{3} (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

Etapa 11.4.2.2

Subtraia $5$ de $6$ .

$f' (12) = 1^{3} (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

Etapa 11.4.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (12) = 1 (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

Etapa 11.4.2.4

Multiplique $\frac{5 (12)}{2} - 5$ por $1$ .

$f' (12) = \frac{5 (12)}{2} - 5$

Etapa 11.4.2.5

Multiplique $5$ por $12$ .

$f' (12) = \frac{60}{2} - 5$

Etapa 11.4.2.6

Divida $60$ por $2$ .

$f' (12) = 30 - 5$

Etapa 11.4.2.7

Subtraia $5$ de $30$ .

$f' (12) = 25$

Etapa 11.4.2.8

A resposta final é $25$ .

$25$

Etapa 11.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 2$ , então $x = 2$ é um máximo local.

$x = 2$ é um máximo local

Etapa 11.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 10$ , então $x = 10$ é um mínimo local.

$x = 10$ é um mínimo local

Etapa 11.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$x = 2$ é um máximo local

$x = 10$ é um mínimo local

$x = 2$ é um máximo local

$x = 10$ é um mínimo local

Etapa 12