Cálculo Exemplos

$\frac{x^{3}}{3} - 9 x$

Etapa 1

Escreva $\frac{x^{3}}{3} - 9 x$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 9 x$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{3}}{3} - 9 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Etapa 2.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Etapa 2.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Etapa 2.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Etapa 2.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} - 9 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$x^{2} - 9$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 9)$

Etapa 3.3

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 0$

Etapa 3.4

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 x$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$x^{2} - 9 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{3}}{3} - 9 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Etapa 5.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Etapa 5.1.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Etapa 5.1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Etapa 5.1.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 9 \cdot 1$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 9$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} - 9$ .

$x^{2} - 9$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} - 9 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Etapa 6.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 9$

Etapa 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 6.4

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 6.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 6.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 6.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 6.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 6.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 3, - 3$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 (3)$

Etapa 10

Multiplique $2$ por $3$ .

$6$

Etapa 11

$x = 3$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 3$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 3$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \frac{{(3)}^{3}}{3} - 9 \cdot 3$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(3)}^{3}$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1.1

Fatore $3$ de ${(3)}^{3}$ .

$f (3) = \frac{3 \cdot 3^{2}}{3} - 9 \cdot 3$

Etapa 12.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.2.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (3) = \frac{3 \cdot 3^{2}}{3 (1)} - 9 \cdot 3$

Etapa 12.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (3) = \frac{3 \cdot 3^{2}}{3 \cdot 1} - 9 \cdot 3$

Etapa 12.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (3) = \frac{3^{2}}{1} - 9 \cdot 3$

Etapa 12.2.1.1.2.4

Divida $3^{2}$ por $1$ .

$f (3) = 3^{2} - 9 \cdot 3$

Etapa 12.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = 9 - 9 \cdot 3$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $- 9$ por $3$ .

$f (3) = 9 - 27$

Etapa 12.2.2

Subtraia $27$ de $9$ .

$f (3) = - 18$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $- 18$ .

$y = - 18$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = - 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 (- 3)$

Etapa 14

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 6$

Etapa 15

$x = - 3$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 3$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} - 9 \cdot - 3$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Cancele o fator comum de ${(- 3)}^{3}$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 1 \cdot 3)}^{3}}{3} - 9 \cdot - 3$

Etapa 16.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $- 1 (3)$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 3^{3}}{3} - 9 \cdot - 3$

Etapa 16.2.1.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 3^{3}}{3} - 9 \cdot - 3$

Etapa 16.2.1.1.4

Fatore $3$ de $- 1 \cdot 3^{3}$ .

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3} - 9 \cdot - 3$

Etapa 16.2.1.1.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.2.1.1.5.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3 (1)} - 9 \cdot - 3$

Etapa 16.2.1.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3 \cdot 1} - 9 \cdot - 3$

Etapa 16.2.1.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 3^{2}}{1} - 9 \cdot - 3$

Etapa 16.2.1.1.5.4

Divida $- 1 \cdot 3^{2}$ por $1$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 3^{2} - 9 \cdot - 3$

Etapa 16.2.1.2

Reescreva $- 1 \cdot 3^{2}$ como $- 3^{2}$ .

$f (- 3) = - 3^{2} - 9 \cdot - 3$

Etapa 16.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 - 9 \cdot - 3$

Etapa 16.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f (- 3) = - 9 - 9 \cdot - 3$

Etapa 16.2.1.5

Multiplique $- 9$ por $- 3$ .

$f (- 3) = - 9 + 27$

Etapa 16.2.2

Some $- 9$ e $27$ .

$f (- 3) = 18$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $18$ .

$y = 18$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 9 x$ .

$(3, - 18)$ é um mínimo local

$(- 3, 18)$ é um máximo local

Etapa 18