Cálculo Exemplos

$4 x y - x^{2} y - x y^{2}$

Etapa 1

Escreva $4 x y - x^{2} y - x y^{2}$ como uma função.

$f (x) = 4 x y - x^{2} y - x y^{2}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x y - x^{2} y - x y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x y$ em relação a $x$ é $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 y + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2} y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 y - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 y - y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 y - 2 y x + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y^{2}$ em relação a $x$ é $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 y - 2 y x - y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 y - 2 y x - y^{2} \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 y - 2 y x - y^{2}$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$- y^{2} - 2 x y + 4 y$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- y^{2} - 2 x y + 4 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x y) + \frac{d}{d x} (4 y)$

Etapa 3.1.2

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 x y) + \frac{d}{d x} (4 y)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $- 2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x y$ em relação a $x$ é $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4 y)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 y)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y + \frac{d}{d x} (4 y)$

Etapa 3.3

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y + 0$

Etapa 3.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $2 y$ de $0$ .

$f'' (x) = - 2 y + 0$

Etapa 3.4.2

Some $- 2 y$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 y$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- y^{2} - 2 x y + 4 y = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x y - x^{2} y - x y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x y) + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x y$ em relação a $x$ é $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 y \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (x) = 4 y + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2} y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 y - y \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 y - y (2 x) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Etapa 5.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y^{2}$ em relação a $x$ é $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x - y^{2} \frac{d}{d x} x$

Etapa 5.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x - y^{2} \cdot 1$

Etapa 5.1.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x - y^{2}$

Etapa 5.1.5

Reordene os termos.

$f' (x) = - y^{2} - 2 x y + 4 y$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- y^{2} - 2 x y + 4 y$ .

$- y^{2} - 2 x y + 4 y$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- y^{2} - 2 x y + 4 y = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- y^{2} - 2 x y + 4 y = 0$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Some $y^{2}$ aos dois lados da equação.

$- 2 x y + 4 y = y^{2}$

Etapa 6.2.2

Subtraia $4 y$ dos dois lados da equação.

$- 2 x y = y^{2} - 4 y$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $- 2 x y = y^{2} - 4 y$ por $- 2 y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $- 2 x y = y^{2} - 4 y$ por $- 2 y$ .

$\frac{- 2 x y}{- 2 y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x y}{- 2 y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Etapa 6.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y}{y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Etapa 6.3.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$x = \frac{y \cdot y}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Etapa 6.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1.2.1

Fatore $y$ de $- 2 y$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot - 2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Etapa 6.3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot - 2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Etapa 6.3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{y}{- 2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Etapa 6.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Etapa 6.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 4$ e $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.3.1

Fatore $- 2$ de $- 4 y$ .

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 2 (2 y)}{- 2 y}$

Etapa 6.3.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.3.2.1

Fatore $- 2$ de $- 2 y$ .

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 2 (2 y)}{- 2 (y)}$

Etapa 6.3.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 2 (2 y)}{- 2 y}$

Etapa 6.3.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 y}{y}$

Etapa 6.3.3.1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 y}{y}$

Etapa 6.3.3.1.4.2

Divida $2$ por $1$ .

$x = - \frac{y}{2} + 2$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{y}{2} + 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{y}{2} + 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 y$

Etapa 10

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 11