Cálculo Exemplos

$12 x y - x^{3} - 6 y^{2}$

Etapa 1

Escreva $12 x y - x^{3} - 6 y^{2}$ como uma função.

$f (x) = 12 x y - x^{3} - 6 y^{2}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x y - x^{3} - 6 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $12 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x y$ em relação a $x$ é $12 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$12 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$12 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$

Etapa 2.4

Como $- 6 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 y - 3 x^{2} + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Some $12 y - 3 x^{2}$ e $0$ .

$12 y - 3 x^{2}$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$- 3 x^{2} + 12 y$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{2} + 12 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 y)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 y)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 y)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (12 y)$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $12 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Etapa 3.3.2

Some $- 6 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 3 x^{2} + 12 y = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x y - x^{3} - 6 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (12 x y) + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x y]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $12 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x y$ em relação a $x$ é $12 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 y \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 12 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$f' (x) = 12 y + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 y - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 12 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = 12 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 y^{2})$

Etapa 5.1.4

Como $- 6 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 12 y - 3 x^{2} + 0$

Etapa 5.1.5

Simplifique.

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Etapa 5.1.5.1

Some $12 y - 3 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 12 y - 3 x^{2}$

Etapa 5.1.5.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 y$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} + 12 y$ .

$- 3 x^{2} + 12 y$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} + 12 y = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 y = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $12 y$ dos dois lados da equação.

$- 3 x^{2} = - 12 y$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = - 12 y$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = - 12 y$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 12 y}{- 3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 12 y}{- 3}$

Etapa 6.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 12 y}{- 3}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 12$ e $- 3$ .

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Etapa 6.3.3.1.1

Fatore $- 3$ de $- 12 y$ .

$x^{2} = \frac{- 3 (4 y)}{- 3}$

Etapa 6.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.3.1.2.1

Fatore $- 3$ de $- 3$ .

$x^{2} = \frac{- 3 (4 y)}{- 3 (1)}$

Etapa 6.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{- 3 (4 y)}{- 3 \cdot 1}$

Etapa 6.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = \frac{4 y}{1}$

Etapa 6.3.3.1.2.4

Divida $4 y$ por $1$ .

$x^{2} = 4 y$

Etapa 6.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4 y}$

Etapa 6.5

Simplifique $\pm \sqrt{4 y}$ .

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Etapa 6.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} y}$

Etapa 6.5.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 2 \sqrt{y}$

Etapa 6.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 \sqrt{y}$

Etapa 6.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 \sqrt{y}$

Etapa 6.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 \sqrt{y}$

$x = - 2 \sqrt{y}$

$x = 2 \sqrt{y}$

$x = - 2 \sqrt{y}$

$x = 2 \sqrt{y}$

$x = - 2 \sqrt{y}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 2 \sqrt{y}$

$x = - 2 \sqrt{y}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 2 \sqrt{y}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 6 (2 \sqrt{y})$

Etapa 10

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$- 12 \sqrt{y}$

Etapa 11

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 12