Cálculo Exemplos

$y^{2} - 3 y - x + 3 = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Isole $x$ no lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 3 y - x + 3 = - y^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Some $3 y$ aos dois lados da equação.

$- x + 3 = - y^{2} + 3 y$

Etapa 1.1.1.3

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- x = - y^{2} + 3 y - 3$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $- x = - y^{2} + 3 y - 3$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $- x = - y^{2} + 3 y - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.1.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{1} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$x = y^{2} + \frac{3 y}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{3 y}{- 1}$ .

$x = y^{2} - 1 \cdot (3 y) + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot (3 y)$ como $- (3 y)$ .

$x = y^{2} - (3 y) + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$x = y^{2} - 3 y + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 1.1.2.3.1.6

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$x = y^{2} - 3 y + 3$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $y^{2} - 3 y + 3$ .

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Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 3$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$d = \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.2.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{3}{2}$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 3 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$e = 3 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 3 - \frac{9}{4}$

Etapa 1.2.4.2.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$e = 3 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Etapa 1.2.4.2.3

Combine $3$ e $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{3 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}$

Etapa 1.2.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{3 \cdot 4 - 9}{4}$

Etapa 1.2.4.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.4.2.5.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$e = \frac{12 - 9}{4}$

Etapa 1.2.4.2.5.2

Subtraia $9$ de $12$ .

$e = \frac{3}{4}$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$ .

${(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$

Etapa 1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = {(y - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = \frac{3}{4}$

$k = \frac{3}{2}$

Etapa 3

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(\frac{3}{4}, \frac{3}{2})$

Etapa 4

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 4.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 4.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 5

Encontre a diretriz.

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Etapa 5.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 6