Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{4 - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 4 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(4 - x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Multiplique $4 - x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} - x \frac{d}{d x} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} - x (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} - x \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} - x (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Multiplique.

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Etapa 1.1.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + 1 x \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + x \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + x (2 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + 2 (x \cdot x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + 2 (x \cdot x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + 2 x^{1 + 1}}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{4 - x^{2} + 2 x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.7

Some $- x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.8

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{({(- x^{2} + 4)}^{2})}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(- x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (4)) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.2.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.2.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{2} (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.2.5.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(- x^{2} + 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot ({(- x^{2} + 4)}^{2} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = - x^{2} + 4$ .

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Etapa 1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - (x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - (x^{2} + 4) (2 u \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - (x^{2} + 4) (2 (- x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie.

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Etapa 1.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (- (2 x) + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (- 2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (- 2 x + 0))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.7.1

Some $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x - 2 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (- 2 x))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.4.7.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x + 4 (x^{2} + 4) ((- x^{2} + 4) (x))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5

Simplifique.

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Etapa 1.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) ((- x^{2} + 4) (x))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 {(- x^{2} + 4)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.5.3.1.1

Reescreva ${(- x^{2} + 4)}^{2}$ como $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.2

Expanda $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.5.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} (- x^{2} + 4) + 4 (- x^{2} + 4)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2} + 4)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.2.5.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.5.3.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.5.3.1.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (1 x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.3.1.4

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.3.1.5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - 4 x^{2} + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 4 \cdot 4) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.3.1.7

Multiplique $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.3.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{4} - 8 x^{2} + 16) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(2 x^{4} + 2 (- 8 x^{2}) + 2 \cdot 16) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.5

Simplifique.

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Etapa 1.2.5.3.1.5.1

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x^{4} - 16 x^{2} + 2 \cdot 16) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.5.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$f'' (x) = \frac{(2 x^{4} - 16 x^{2} + 32) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{4} x - 16 x^{2} x + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.7.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.7.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{4}) - 16 x^{2} x + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.7.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.7.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{4}) - 16 x^{2} x + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{1 + 4} - 16 x^{2} x + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.7.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{2} x + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.7.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 (x \cdot x^{2}) + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.7.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.7.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 (x \cdot x^{2}) + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.7.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{1 + 2} + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.7.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 4) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.8

Multiplique $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + (4 x^{2} + 16) (- x^{2} x + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.9

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.9.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + (4 x^{2} + 16) (- (x \cdot x^{2}) + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.9.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.9.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + (4 x^{2} + 16) (- (x \cdot x^{2}) + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + (4 x^{2} + 16) (- x^{1 + 2} + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.9.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + (4 x^{2} + 16) (- x^{3} + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.10

Expanda $(4 x^{2} + 16) (- x^{3} + 4 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 x^{2} (- x^{3} + 4 x) + 16 (- x^{3} + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3} + 4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.11.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 \cdot (- 1 x^{2} x^{3}) + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.11.1.2.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 \cdot (- 1 (x^{3} x^{2})) + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 \cdot (- 1 x^{3 + 2}) + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11.1.2.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 4 \cdot (- 1 x^{5}) + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 4 x^{2} (4 x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 4 \cdot (4 x^{2} x) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.11.1.5.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 4 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11.1.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.11.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 4 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 4 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11.1.5.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 4 \cdot (4 x^{3}) + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11.1.6

Multiplique $4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 16 x^{3} + 16 (- x^{3}) + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11.1.7

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 16 x^{3} - 16 x^{3} + 16 (4 x)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11.1.8

Multiplique $4$ por $16$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 16 x^{3} - 16 x^{3} + 64 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11.2

Subtraia $16 x^{3}$ de $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 0 + 64 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.1.11.3

Some $- 4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x - 4 x^{5} + 64 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.2

Subtraia $4 x^{5}$ de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 16 x^{3} + 32 x + 64 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.3.3

Some $32 x$ e $64 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 16 x^{3} + 96 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.1

Fatore $2 x$ de $- 2 x^{5} - 16 x^{3} + 96 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.1.1

Fatore $2 x$ de $- 2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4}) - 16 x^{3} + 96 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.1.2

Fatore $2 x$ de $- 16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 8 x^{2}) + 96 x}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.1.3

Fatore $2 x$ de $96 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 8 x^{2}) + 2 x (48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.1.4

Fatore $2 x$ de $2 x (- x^{4}) + 2 x (- 8 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4} - 8 x^{2}) + 2 x (48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.1.5

Fatore $2 x$ de $2 x (- x^{4} - 8 x^{2}) + 2 x (48)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- x^{4} - 8 x^{2} + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} - 8 x^{2} + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- u^{2} - 8 u + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.4

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 48 = - 48$ e cuja soma é $b = - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.4.1.1

Fatore $- 8$ de $- 8 u$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (- u^{2} - 8 u + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.4.1.2

Reescreva $- 8$ como $4$ mais $- 12$

$f'' (x) = \frac{2 x (- u^{2} + (4 - 12) u + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x (- u^{2} + 4 u - 12 u + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.4.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f'' (x) = \frac{2 x ((- u^{2} + 4 u) - 12 u + 48)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f'' (x) = \frac{2 x (u (- u + 4) + 12 (- u + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- u + 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((- u + 4) (u + 12))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((- x^{2} + 4) (x^{2} + 12))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.6

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((- x^{2} + 2^{2}) (x^{2} + 12))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.7

Reordene $- x^{2}$ e $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((2^{2} - x^{2}) (x^{2} + 12))}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.4.8

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 12)}{{(- x^{2} + 4)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 12)}{{(- x^{2} + 2^{2})}^{4}}$

Etapa 1.2.5.5.2

Reordene $- x^{2}$ e $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 12)}{{(2^{2} - x^{2})}^{4}}$

Etapa 1.2.5.5.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 12)}{{((2 + x) (2 - x))}^{4}}$

Etapa 1.2.5.5.4

Aplique a regra do produto a $(2 + x) (2 - x)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.6

Cancele o fator comum de $2 + x$ e ${(2 + x)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.6.1

Fatore $2 + x$ de $2 x (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((2 x (2 - x)) (x^{2} + 12))}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.6.2.1

Fatore $2 + x$ de ${(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((2 x (2 - x)) (x^{2} + 12))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

Etapa 1.2.5.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(2 + x) ((2 x (2 - x)) (x^{2} + 12))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

Etapa 1.2.5.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(2 x (2 - x)) (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.7

Cancele o fator comum de $2 - x$ e ${(2 - x)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.7.1

Fatore $2 - x$ de $(2 x (2 - x)) (x^{2} + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(2 - x) ((2 x) (x^{2} + 12))}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

Etapa 1.2.5.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.7.2.1

Fatore $2 - x$ de ${(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(2 - x) ((2 x) (x^{2} + 12))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

Etapa 1.2.5.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(2 - x) ((2 x) (x^{2} + 12))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

Etapa 1.2.5.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x (x^{2} + 12) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 12 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.3.3

Defina $x^{2} + 12$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Defina $x^{2} + 12$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 12 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Resolva $x^{2} + 12 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 12$

Etapa 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 12}$

Etapa 2.3.3.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.1

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (12)}$

Etapa 2.3.3.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$

Etapa 2.3.3.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{12}$

Etapa 2.3.3.2.3.4

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.4.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}$

Etapa 2.3.3.2.3.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Etapa 2.3.3.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{3})$

Etapa 2.3.3.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{3}$

Etapa 2.3.3.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i \sqrt{3}$

Etapa 2.3.3.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i \sqrt{3}$

Etapa 2.3.3.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (x^{2} + 12) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = \frac{x}{4 - x^{2}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{0}{4 - {(0)}^{2}}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{0}{4 - 0}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0}{4 + 0}$

Etapa 3.1.2.1.3

Some $4$ e $0$ .

$f (0) = \frac{0}{4}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $0$ por $4$ .

$f (0) = 0$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = \frac{x}{4 - x^{2}}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = \frac{2 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 12)}{{(2 - 0.1)}^{3} {(2 - (- 0.1))}^{3}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Remova os parênteses.

$f'' (- 0.1) = \frac{2 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 12)}{{(2 - 0.1)}^{3} {(2 - (- 0.1))}^{3}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Multiplique $2$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.2 ({(- 0.1)}^{2} + 12)}{{(2 - 0.1)}^{3} {(2 - (- 0.1))}^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $- 0.2$ por ${(- 0.1)}^{2} + 12$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.402}{{(2 - 0.1)}^{3} {(2 - (- 0.1))}^{3}}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Subtraia $0.1$ de $2$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.402}{{1.9}^{3} {(2 - (- 0.1))}^{3}}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.402}{{1.9}^{3} {(2 + 0.1)}^{3}}$

Etapa 5.2.3.3

Some $2$ e $0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.402}{{1.9}^{3} \cdot {2.1}^{3}}$

Etapa 5.2.3.4

Eleve $1.9$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.402}{6.859 \cdot {2.1}^{3}}$

Etapa 5.2.3.5

Eleve $2.1$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.402}{6.859 \cdot 9.261}$

Etapa 5.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Multiplique $6.859$ por $9.261$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 2.402}{63.521199}$

Etapa 5.2.4.2

Divida $- 2.402$ por $63.521199$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.03781414$

Etapa 5.2.5

A resposta final é $- 0.03781414$ .

$- 0.03781414$

Etapa 5.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $- 0.03781414$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = \frac{2 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 12)}{{(2 + 0.1)}^{3} {(2 - (0.1))}^{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Remova os parênteses.

$f'' (0.1) = \frac{2 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 12)}{{(2 + 0.1)}^{3} {(2 - (0.1))}^{3}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.2.1

Multiplique $2$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.2 ({0.1}^{2} + 12)}{{(2 + 0.1)}^{3} {(2 - (0.1))}^{3}}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $0.2$ por ${0.1}^{2} + 12$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.402}{{(2 + 0.1)}^{3} {(2 - (0.1))}^{3}}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.3.1

Some $2$ e $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.402}{{2.1}^{3} {(2 - (0.1))}^{3}}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.402}{{2.1}^{3} {(2 - 0.1)}^{3}}$

Etapa 6.2.3.3

Subtraia $0.1$ de $2$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.402}{{2.1}^{3} \cdot {1.9}^{3}}$

Etapa 6.2.3.4

Eleve $2.1$ à potência de $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.402}{9.261 \cdot {1.9}^{3}}$

Etapa 6.2.3.5

Eleve $1.9$ à potência de $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.402}{9.261 \cdot 6.859}$

Etapa 6.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.4.1

Multiplique $9.261$ por $6.859$ .

$f'' (0.1) = \frac{2.402}{63.521199}$

Etapa 6.2.4.2

Divida $2.402$ por $63.521199$ .

$f'' (0.1) = 0.03781414$

Etapa 6.2.5

A resposta final é $0.03781414$ .

$0.03781414$

Etapa 6.3

Em $0.1$ , a segunda derivada é $0.03781414$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Etapa 8