Cálculo Exemplos

$f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [a x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x^{3}$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.3

Mova $3$ para a esquerda de $a$ .

$3 a x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 a x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 a x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 a x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 + 0$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Some $3 a x^{2} + 4 x + 2$ e $0$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2$

Etapa 1.1.6.2

Reordene os termos.

$f' (x) = 3 x^{2} a + 4 x + 2$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} a + 4 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2} a]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $3 a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2} a$ em relação a $x$ é $3 a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 a (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 a x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 a x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 a x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$6 a x + 4 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 a x + 4 + 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $6 a x + 4$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 a x + 4$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 a x + 4$ .

$6 a x + 4$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 a x + 4 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$6 a x + 4 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$6 a x = - 4$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $6 a x = - 4$ por $6 a$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $6 a x = - 4$ por $6 a$ .

$\frac{6 a x}{6 a} = \frac{- 4}{6 a}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 a x}{6 a} = \frac{- 4}{6 a}$

Etapa 2.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{a x}{a} = \frac{- 4}{6 a}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum de $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a x}{a} = \frac{- 4}{6 a}$

Etapa 2.3.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{6 a}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{6 a}$

Etapa 2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6 a$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{2 (3 a)}$

Etapa 2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 (3 a)}$

Etapa 2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{- 2}{3 a}$

Etapa 2.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3 a}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $- \frac{2}{3 a}$ em $f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{2}{3 a}$ na expressão.

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- \frac{2}{3 a})}^{3} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3 a})}^{3}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{{(3 a)}^{3}})) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $3 a$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{3}})) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (- \frac{2}{3 a}) = {(- 1)}^{3} a (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{3}}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.3.1

Fatore $a$ de ${(- 1)}^{3} a$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{3}}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.3.2

Fatore $a$ de $3^{3} a^{3}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{a (3^{3} a^{2})}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{a (3^{3} a^{2})}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2}{3 a}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{2}}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.4

Combine ${(- 1)}^{3}$ e $\frac{2^{3}}{3^{3} a^{2}}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 2^{3}}{3^{3} a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.5.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 1 \cdot 2^{3}}{3^{3} a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.5.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 1 \cdot 8}{3^{3} a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.6

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 1 \cdot 8}{27 a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 8}{27 a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.9

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.9.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3 a})}^{2}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.9.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{{(3 a)}^{2}})) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.9.3

Aplique a regra do produto a $3 a$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}})) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.10

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}})) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.11

Multiplique $\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (\frac{4}{3^{2} a^{2}}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.13

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (\frac{4}{9 a^{2}}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.14

Multiplique $2 \frac{4}{9 a^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.14.1

Combine $2$ e $\frac{4}{9 a^{2}}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{2 \cdot 4}{9 a^{2}} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.14.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Etapa 3.1.2.1.15

Multiplique $2 (- \frac{2}{3 a})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.15.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} - 2 \frac{2}{3 a} + 1$

Etapa 3.1.2.1.15.2

Combine $- 2$ e $\frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{3 a} + 1$

Etapa 3.1.2.1.15.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} + \frac{- 4}{3 a} + 1$

Etapa 3.1.2.1.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Etapa 3.1.2.2

Para escrever $\frac{8}{9 a^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3 a} + 1$

Etapa 3.1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $27 a^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Multiplique $\frac{8}{9 a^{2}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8 \cdot 3}{9 a^{2} \cdot 3} - \frac{4}{3 a} + 1$

Etapa 3.1.2.3.2

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8 \cdot 3}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Etapa 3.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 8 + 8 \cdot 3}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Etapa 3.1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.5.1

Multiplique $8$ por $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 8 + 24}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Etapa 3.1.2.5.2

Some $- 8$ e $24$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Etapa 3.1.2.6

A resposta final é $\frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$ .

$\frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{2}{3 a}$ em $f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$ é $(- \frac{2}{3 a}, \frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{2}{3 a}, \frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \frac{2}{3 a}) \cup (- \frac{2}{3 a}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{2}{3 a})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $N^{2} a - 0.1$ na expressão.

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a (N^{2} a - 0.1) + 4$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a (N^{2} a) + 6 a \cdot - 0.1 + 4$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $a$ por $a$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1

Mova $a$ .

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 (a \cdot a) N^{2} + 6 a \cdot - 0.1 + 4$

Etapa 5.2.1.2.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a^{2} N^{2} + 6 a \cdot - 0.1 + 4$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 0.1$ por $6$ .

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a^{2} N^{2} - 0.6 a + 4$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $6 a^{2} N^{2} - 0.6 a + 4$ .

$6 a^{2} N^{2} - 0.6 a + 4$

Etapa 5.3

Em $N^{2} a - 0.1$ , a segunda derivada é $N a N$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - \frac{2}{3 a})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \frac{2}{3 a})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{2}{3 a}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $N^{2} a + 0.1$ na expressão.

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a (N^{2} a + 0.1) + 4$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a (N^{2} a) + 6 a \cdot 0.1 + 4$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $a$ por $a$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.2.1

Mova $a$ .

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 (a \cdot a) N^{2} + 6 a \cdot 0.1 + 4$

Etapa 6.2.1.2.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a^{2} N^{2} + 6 a \cdot 0.1 + 4$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $0.1$ por $6$ .

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a^{2} N^{2} + 0.6 a + 4$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $6 a^{2} N^{2} + 0.6 a + 4$ .

$6 a^{2} N^{2} + 0.6 a + 4$

Etapa 6.3

Em $N^{2} a + 0.1$ , a segunda derivada é $N a N$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \frac{2}{3 a}, \infty)$ .

Decréscimo em $(- \frac{2}{3 a}, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. No gráfico, não há pontos que satisfaçam esses requisitos.

Nenhum ponto de inflexão