Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 \cos^{2} (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 \cos^{2} (x)$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$f' (x) = 5 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Etapa 1.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$f' (x) = 5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Etapa 1.1.2.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 5 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = 5 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Etapa 1.1.2.5

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (x))$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Etapa 1.1.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x) \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 \cos (x) \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Etapa 1.2.2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Etapa 1.2.2.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Etapa 1.2.2.5

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Etapa 1.2.2.6

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Etapa 1.2.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 10 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Etapa 1.2.2.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Etapa 1.2.2.9

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Etapa 1.2.2.10

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Etapa 1.2.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Etapa 1.2.2.12

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 \cos (x)$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 10 \frac{d}{d x} \cos (x)$

Etapa 1.2.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 10 (- \sin (x))$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 10 \sin (x)$

Etapa 1.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) - 10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \sin (x)$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x)$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x)$ .

$- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x)$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Etapa 2.2

Substitua $- 10 \cos^{2} (x)$ por $- 10 (1 - \sin^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 10 (1 - \sin^{2} (x)) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Etapa 2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 10 \cdot 1 - 10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$- 10 - 10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Etapa 2.4

Some $10 \sin^{2} (x)$ e $10 \sin^{2} (x)$ .

$- 10 + 20 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) = 0$

Etapa 2.5

Reordene o polinômio.

$20 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x) - 10 = 0$

Etapa 2.6

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$20 {(u)}^{2} + 10 (u) - 10 = 0$

Etapa 2.7

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Fatore $10$ de $20 u^{2} + 10 u - 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Fatore $10$ de $20 u^{2}$ .

$10 (2 u^{2}) + 10 u - 10 = 0$

Etapa 2.7.1.2

Fatore $10$ de $10 u$ .

$10 (2 u^{2}) + 10 u - 10 = 0$

Etapa 2.7.1.3

Fatore $10$ de $- 10$ .

$10 (2 u^{2}) + 10 u + 10 (- 1) = 0$

Etapa 2.7.1.4

Fatore $10$ de $10 (2 u^{2}) + 10 u$ .

$10 (2 u^{2} + u) + 10 (- 1) = 0$

Etapa 2.7.1.5

Fatore $10$ de $10 (2 u^{2} + u) + 10 (- 1)$ .

$10 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Etapa 2.7.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$10 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Etapa 2.7.2.1.1.2

Reescreva $1$ como $- 1$ mais $2$

$10 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Etapa 2.7.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$10 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Etapa 2.7.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$10 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Etapa 2.7.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$10 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Etapa 2.7.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 1$ .

$10 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Etapa 2.7.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$10 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Etapa 2.8

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 2.9

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Etapa 2.9.2

Resolva $2 u - 1 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 u = 1$

Etapa 2.9.2.2

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.9.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.9.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Etapa 2.10

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 2.10.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 2.11

A solução final são todos os valores que tornam $10 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Etapa 2.12

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Etapa 2.13

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Etapa 2.14

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 2.14.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 2.14.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 2.14.4

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 2.14.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 2.14.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 2.14.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.4.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 2.14.4.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 2.14.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.14.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.14.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.14.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.14.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.14.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.15

Resolva $x$ em $\sin (x) = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 2.15.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.2.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 2.15.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 2.15.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 2.15.4.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.15.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.15.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.15.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.15.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.15.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 2.15.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.15.6.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.15.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.15.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.6.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 2.15.6.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 2.15.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.15.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.16

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.17

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $\frac{π}{6}$ em $f (x) = 5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{π}{6}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 3.1.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 3.1.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 3.1.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 3.1.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 3.1.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 3.1.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 3.1.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3}{2^{2}}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 3.1.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 5 (\frac{3}{4}) - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 3.1.2.1.5

Multiplique $5 (\frac{3}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.5.1

Combine $5$ e $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{5 \cdot 3}{4} - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 3.1.2.1.5.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 10 \sin (\frac{π}{6})$

Etapa 3.1.2.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 10 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.1.2.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.1.2.1.7.1

Fatore $2$ de $- 10$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} + 2 (- 5) (\frac{1}{2})$

Etapa 3.1.2.1.7.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} + 2 \cdot (- 5 (\frac{1}{2}))$

Etapa 3.1.2.1.7.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 5$

Etapa 3.1.2.2

Para escrever $- 5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} - 5 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.1.2.3

Combine $- 5$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15}{4} + \frac{- 5 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15 - 5 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.1.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.2.5.1

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{15 - 20}{4}$

Etapa 3.1.2.5.2

Subtraia $20$ de $15$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{- 5}{4}$

Etapa 3.1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{π}{6}) = - \frac{5}{4}$

Etapa 3.1.2.7

A resposta final é $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{π}{6}$ em $f (x) = 5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$ é $(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{π}{6})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0.42359877$ na expressão.

$f'' (0.42359877) = - 10 \cos^{2} (0.42359877) + 10 \sin^{2} (0.42359877) + 10 \sin (0.42359877)$

Etapa 5.2

A resposta final é $- 10 \cos^{2} (0.42359877) + 10 \sin^{2} (0.42359877) + 10 \sin (0.42359877)$ .

$- 10 \cos^{2} (0.42359877) + 10 \sin^{2} (0.42359877) + 10 \sin (0.42359877)$

Etapa 5.3

Em $0.42359877$ , a segunda derivada é $- 2.51042168$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, \frac{π}{6})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{π}{6})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(\frac{π}{6}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.62359877$ na expressão.

$f'' (0.62359877) = - 10 \cos^{2} (0.62359877) + 10 \sin^{2} (0.62359877) + 10 \sin (0.62359877)$

Etapa 6.2

A resposta final é $- 10 \cos^{2} (0.62359877) + 10 \sin^{2} (0.62359877) + 10 \sin (0.62359877)$ .

$- 10 \cos^{2} (0.62359877) + 10 \sin^{2} (0.62359877) + 10 \sin (0.62359877)$

Etapa 6.3

Em $0.62359877$ , a segunda derivada é $2.65979756$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{π}{6}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{π}{6}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$ .

$(\frac{π}{6}, - \frac{5}{4})$

Etapa 8