Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Etapa 1.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Etapa 1.1.7.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Etapa 1.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.9

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.1.10

Combine $e^{x}$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{e^{x} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Etapa 1.1.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.11.1

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{e^{x} \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.11.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 \cdot e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.11.3

Reordene os termos.

$f' (x) = e^{x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2.2.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2.2.7.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2.2.9

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$e^{x} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2.2.10

Combine $e^{x}$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{e^{x} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2.2.12

Mova $2$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.6

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.3.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.8.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.10

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.11

Combine $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{x^{- \frac{2}{3}} e^{x}}{3}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.12

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 1.2.3.13

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Etapa 1.2.3.13.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.3.13.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.3.14

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 (x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4

Simplifique.

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Etapa 1.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 (x^{\frac{1}{3}} e^{x}) + 2 (- \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.2.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - 2 \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} + \frac{- 2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2.4

Para escrever $\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 x^{\frac{2}{3}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.2.4.2.5.1

Multiplique $\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2.5.2

Multiplique $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.4.2.5.2.1

Mova $x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2.5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1 + 1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2.5.2.4

Some $1$ e $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2.7

Some $2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}$ e $2 x^{\frac{1}{3}} e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.7.1

Mova $e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} + 2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2.7.2

Some $2 x^{\frac{1}{3}} e^{x}$ e $2 x^{\frac{1}{3}} e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2.8

Para escrever $x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2.9

Combine $x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ e $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}} e^{x} (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} e^{x} (3 x^{\frac{2}{3}}) + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} e^{x} \cdot 3 + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{\frac{2 + 2}{3}} e^{x} \cdot 3 + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2.13

Some $2$ e $2$ .

$\frac{x^{\frac{4}{3}} e^{x} \cdot 3 + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.2.14

Mova $3$ para a esquerda de $x^{\frac{4}{3}} e^{x}$ .

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}} e^{x} + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.3

Reordene os termos.

$\frac{3 e^{x} x^{\frac{4}{3}} + 4 e^{x} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.1

Fatore $e^{x}$ de $3 e^{x} x^{\frac{4}{3}} + 4 e^{x} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.1.1

Fatore $e^{x}$ de $3 e^{x} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + 4 e^{x} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.1.2

Fatore $e^{x}$ de $4 e^{x} x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.1.3

Fatore $e^{x}$ de $- \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}}) + e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.1.4

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}) + e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.1.5

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}) + e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.2

Reordene os termos.

$\frac{e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.3

Para escrever $4 x^{\frac{1}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.4

Combine $4 x^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.6.1

Fatore $2$ de $4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.6.1.1

Fatore $2$ de $4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})) - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.6.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})) + 2 (- 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.6.1.3

Fatore $2$ de $2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})) + 2 (- 1)$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.6.3

Multiplique $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.6.3.1

Mova $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.6.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.6.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{2 + 1}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.6.3.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{3}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.6.3.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{1} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.6.4

Simplifique $2 \cdot 3 x^{1}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.6.5

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.7

Para escrever $3 x^{\frac{4}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.8

Combine $3 x^{\frac{4}{3}}$ e $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{3 x^{\frac{4}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{x} \frac{3 x^{\frac{4}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.10.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.10.2

Multiplique $x^{\frac{4}{3}}$ por $x^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.4.10.2.1

Mova $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}) + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.10.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{2 + 4}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.10.2.4

Some $2$ e $4$ .

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{6}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.10.2.5

Divida $6$ por $3$ .

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{2} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.10.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.10.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 2 (6 x) + 2 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.10.5

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 12 x + 2 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.4.10.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 12 x - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.5

Combine $e^{x}$ e $\frac{9 x^{2} + 12 x - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2.4.7

Combine.

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 1.2.4.8

Multiplique $x^{\frac{2}{3}}$ por $x^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.8.1

Mova $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.8.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{2 + 2}{3}} \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.8.4

Some $2$ e $2$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.9

Multiplique $e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)$ por $1$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{3 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Etapa 1.2.4.10

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$9 x^{2} + 12 x - 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 2.3.2.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 2.3.2.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.3.2.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.3.3

Defina $9 x^{2} + 12 x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Defina $9 x^{2} + 12 x - 2$ como igual a $0$ .

$9 x^{2} + 12 x - 2 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Resolva $9 x^{2} + 12 x - 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.3.3.2.2

Substitua os valores $a = 9$ , $b = 12$ e $c = - 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 2)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.3.1.2.2

Multiplique $- 36$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 72}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.3.1.3

Some $144$ e $72$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.3.1.4

Reescreva $216$ como $6^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.3.1.4.1

Fatore $36$ de $216$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.3.1.4.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.3.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$

Etapa 2.3.3.2.3.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{6}}{3}$

Etapa 2.3.3.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.4.1.2.2

Multiplique $- 36$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 72}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.4.1.3

Some $144$ e $72$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.4.1.4

Reescreva $216$ como $6^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.1.4.1

Fatore $36$ de $216$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.4.1.4.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.4.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$

Etapa 2.3.3.2.4.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{6}}{3}$

Etapa 2.3.3.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 2 + \sqrt{6}}{3}$

Etapa 2.3.3.2.4.5

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{6}}{3}$

Etapa 2.3.3.2.4.6

Fatore $- 1$ de $\sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{6})}{3}$

Etapa 2.3.3.2.4.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (2 - \sqrt{6})}{3}$

Etapa 2.3.3.2.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2 - \sqrt{6}}{3}$

Etapa 2.3.3.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.5.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.5.1.2.2

Multiplique $- 36$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 72}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.5.1.3

Some $144$ e $72$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.5.1.4

Reescreva $216$ como $6^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.5.1.4.1

Fatore $36$ de $216$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.5.1.4.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.3.2.5.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$

Etapa 2.3.3.2.5.3

Simplifique $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{6}}{3}$

Etapa 2.3.3.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 2 - \sqrt{6}}{3}$

Etapa 2.3.3.2.5.5

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{6}}{3}$

Etapa 2.3.3.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{6})}{3}$

Etapa 2.3.3.2.5.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (2) - (\sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (2 + \sqrt{6})}{3}$

Etapa 2.3.3.2.5.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

Etapa 2.3.3.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{2 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{2 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0.14982991$ em $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0.14982991$ na expressão.

$f (0.14982991) = {(0.14982991)}^{\frac{2}{3}} e^{0.14982991}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Eleve $0.14982991$ à potência de $\frac{2}{3}$ .

$f (0.14982991) = 0.28209735 e^{0.14982991}$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $0.28209735$ por $e^{0.14982991}$ .

$f (0.14982991) = 0.32769463$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $0.32769463$ .

$0.32769463$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0.14982991$ em $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ é $(0.14982991, 0.32769463)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0.14982991, 0.32769463)$

Etapa 3.3

Substitua $- 1.48316324$ em $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.48316324$ na expressão.

$f (- 1.48316324) = {(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}} e^{- 1.48316324}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1.48316324) = {(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{e^{1.48316324}})$

Etapa 3.3.2.2

Combine ${(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{1}{e^{1.48316324}}$ .

$f (- 1.48316324) = \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $\frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}$ .

$\frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- 1.48316324$ em $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ é $(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}})$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0.14982991, 0.32769463), (- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 1.48316324) \cup (- 1.48316324, 0.14982991) \cup (0.14982991, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1.48316324)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.58316324$ na expressão.

$f'' (- 1.58316324) = \frac{e^{- 1.58316324} (9 {(- 1.58316324)}^{2} + 12 (- 1.58316324) - 2)}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Mova $e^{- 1.58316324}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{9 {(- 1.58316324)}^{2} + 12 (- 1.58316324) - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 1.58316324$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{9 \cdot 2.50640586 + 12 (- 1.58316324) - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $9$ por $2.50640586$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{22.55765281 + 12 (- 1.58316324) - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Etapa 5.2.2.3

Multiplique $12$ por $- 1.58316324$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{22.55765281 - 18.99795897 - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Etapa 5.2.2.4

Subtraia $18.99795897$ de $22.55765281$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{3.55969384 - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Etapa 5.2.2.5

Subtraia $2$ de $3.55969384$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{1.55969384}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $\frac{1.55969384}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$ .

$\frac{1.55969384}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Etapa 5.3

Em $- 1.58316324$ , a segunda derivada é $0.01928428$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 1.48316324)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 1.48316324)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1.48316324, 0.14982991)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.66666666$ na expressão.

$f'' (- 0.66666666) = \frac{e^{- 0.66666666} (9 {(- 0.66666666)}^{2} + 12 (- 0.66666666) - 2)}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Mova $e^{- 0.66666666}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{9 {(- 0.66666666)}^{2} + 12 (- 0.66666666) - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 0.66666666$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{9 \cdot 0.\overline{4} + 12 (- 0.66666666) - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $9$ por $0.\overline{4}$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{4 + 12 (- 0.66666666) - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Etapa 6.2.2.3

Multiplique $12$ por $- 0.66666666$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{4 - 8 - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Etapa 6.2.2.4

Subtraia $8$ de $4$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{- 4 - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Etapa 6.2.2.5

Subtraia $2$ de $- 4$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{- 6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (- 0.66666666) = - \frac{6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- \frac{6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$ .

$- \frac{6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Etapa 6.3

Em $- 0.66666666$ , a segunda derivada é $- 0.58771588$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 1.48316324, 0.14982991)$ .

Decréscimo em $(- 1.48316324, 0.14982991)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0.14982991, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.24982991$ na expressão.

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (9 {(0.24982991)}^{2} + 12 (0.24982991) - 2)}{9 {(0.24982991)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $0.24982991$ à potência de $2$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (9 \cdot 0.06241498 + 12 (0.24982991) - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $9$ por $0.06241498$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (0.56173487 + 12 (0.24982991) - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $12$ por $0.24982991$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (0.56173487 + 2.99795897 - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.1.4

Some $0.56173487$ e $2.99795897$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (3.55969384 - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.1.5

Subtraia $2$ de $3.55969384$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} \cdot 1.55969384}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique multiplicando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $0.24982991$ à potência de $\frac{4}{3}$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} \cdot 1.55969384}{9 \cdot 0.15734728}$

Etapa 7.2.2.2

Multiplique $e^{0.24982991}$ por $1.55969384$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{2.00234594}{9 \cdot 0.15734728}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.3.1

Multiplique $9$ por $0.15734728$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{2.00234594}{1.41612555}$

Etapa 7.2.2.3.2

Divida $2.00234594$ por $1.41612555$ .

$f'' (0.24982991) = 1.41396073$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $1.41396073$ .

$1.41396073$

Etapa 7.3

Em $0.24982991$ , a segunda derivada é $1.41396073$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0.14982991, \infty)$ .

Acréscimo em $(0.14982991, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}), (0.14982991, 0.32769463)$ .

$(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}), (0.14982991, 0.32769463)$

Etapa 9