Cálculo Exemplos

${(\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5}))}^{3}$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie $\cos (\frac{3 π}{5})$ .

${(- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5}))}^{3}$

Etapa 1.2

Avalie $\sin (\frac{3 π}{5})$ .

${(- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651)}^{3}$

Etapa 1.3

Mova $0.95105651$ para a esquerda de $i$ .

${(- 0.30901699 + 0.95105651 i)}^{3}$

Etapa 2

Use o teorema binomial.

${(- 0.30901699)}^{3} + 3 {(- 0.30901699)}^{2} (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Etapa 3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Eleve $- 0.30901699$ à potência de $3$ .

$- 0.02950849 + 3 {(- 0.30901699)}^{2} (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Etapa 3.1.2

Eleve $- 0.30901699$ à potência de $2$ .

$- 0.02950849 + 3 \cdot 0.0954915 (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Etapa 3.1.3

Multiplique $3$ por $0.0954915$ .

$- 0.02950849 + 0.2864745 (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Etapa 3.1.4

Multiplique $0.95105651$ por $0.2864745$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Etapa 3.1.5

Multiplique $3$ por $- 0.30901699$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Etapa 3.1.6

Aplique a regra do produto a $0.95105651 i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 ({0.95105651}^{2} i^{2}) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Etapa 3.1.7

Eleve $0.95105651$ à potência de $2$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 (0.90450849 i^{2}) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Etapa 3.1.8

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 (0.90450849 \cdot - 1) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Etapa 3.1.9

Multiplique $- 0.92705098 (0.90450849 \cdot - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.9.1

Multiplique $0.90450849$ por $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 \cdot - 0.90450849 + {(0.95105651 i)}^{3}$

Etapa 3.1.9.2

Multiplique $- 0.92705098$ por $- 0.90450849$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + {(0.95105651 i)}^{3}$

Etapa 3.1.10

Aplique a regra do produto a $0.95105651 i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + {0.95105651}^{3} i^{3}$

Etapa 3.1.11

Eleve $0.95105651$ à potência de $3$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 i^{3}$

Etapa 3.1.12

Fatore $i^{2}$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (i^{2} \cdot i)$

Etapa 3.1.13

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (- 1 \cdot i)$

Etapa 3.1.14

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (- i)$

Etapa 3.1.15

Multiplique $- 1$ por $0.8602387$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 - 0.8602387 i$

Etapa 3.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.2.1

Some $- 0.02950849$ e $0.83852549$ .

$0.80901699 + 0.27245344 i - 0.8602387 i$

Etapa 3.2.2

Subtraia $0.8602387 i$ de $0.27245344 i$ .

$0.80901699 - 0.58778525 i$

Etapa 4

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 5

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 6

Substitua os valores reais de $a = 0.80901699$ e $b = - 0.58778525$ .

$| z | = \sqrt{{(- 0.58778525)}^{2} + {0.80901699}^{2}}$

Etapa 7

Encontre $| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Eleve $- 0.58778525$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{0.3454915 + {0.80901699}^{2}}$

Etapa 7.2

Eleve $0.80901699$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{0.3454915 + 0.65450849}$

Etapa 7.3

Some $0.3454915$ e $0.65450849$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Etapa 7.4

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Etapa 7.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 1$

Etapa 8

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{- 0.58778525}{0.80901699})$

Etapa 9

Como a tangente inversa de $\frac{- 0.58778525}{0.80901699}$ produz um ângulo no quarto quadrante, o valor do ângulo é $- \frac{π}{5}$ .

$θ = - \frac{π}{5}$

Etapa 10

Substitua os valores de $θ = - \frac{π}{5}$ e $| z | = 1$ .

$1 (\cos (- \frac{π}{5}) + i \sin (- \frac{π}{5}))$