Cálculo Exemplos

$x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Etapa 1

Escreva $x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ como uma função.

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{4}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.3.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.3.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.3.6

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.6.1

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2})) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.3.6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f' (x) = x (\frac{4}{2} \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.3.6.3

Combine $\frac{4}{2}$ e ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.6.4.1

Fatore $2$ de $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.3.6.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.6.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.3.6.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.3.6.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = x (\frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.3.6.4.2.4

Divida $2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

Etapa 2.1.3.8

Multiplique ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ por $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ de $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1.1

Reordene $x$ e $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Etapa 2.1.4.1.2

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ de $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Etapa 2.1.4.1.3

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

Etapa 2.1.4.1.4

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

Etapa 2.1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.2.1

Para escrever $2 x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Etapa 2.1.4.2.2

Combine $2 x$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Etapa 2.1.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

Etapa 2.1.4.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

Etapa 2.1.4.2.5

Some $4 x$ e $x$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ e $g (x) = \frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 5) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Etapa 2.2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{5 x}{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Etapa 2.2.2.2

Como $\frac{5}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5 x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Etapa 2.2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Etapa 2.2.2.4

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Etapa 2.2.2.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Etapa 2.2.2.6

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.6.1

Some $\frac{5}{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Etapa 2.2.2.6.2

Combine ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ e $\frac{5}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Etapa 2.2.2.6.3

Mova $5$ para a esquerda de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Etapa 2.2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Mova $3$ para a esquerda de $\frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)$

Etapa 2.2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Etapa 2.2.4.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Etapa 2.2.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Etapa 2.2.4.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))$

Etapa 2.2.4.6

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Etapa 2.2.4.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.7.1

Some $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2})$

Etapa 2.2.4.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})$

Etapa 2.2.4.7.3

Combine ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ e $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Etapa 2.2.4.7.4

Mova $3$ para a esquerda de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Etapa 2.2.5

Para escrever $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.2.6

Combine $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Etapa 2.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Etapa 2.2.8

Combine $2$ e $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Etapa 2.2.9

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Etapa 2.2.10

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.10.1

Fatore $2$ de $6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Etapa 2.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Etapa 2.2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Etapa 2.2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Etapa 2.2.10.2.4

Divida $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Etapa 2.2.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.11.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.11.1.1

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ de $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.11.1.1.1

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ de $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.1.2

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ de $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Etapa 2.2.11.1.1.3

Fatore ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ de ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5) + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Etapa 2.2.11.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Etapa 2.2.11.1.3

Combine $5$ e $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Etapa 2.2.11.1.4

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Etapa 2.2.11.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 5)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.6

Multiplique $3 \frac{5 x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.11.1.6.1

Combine $3$ e $\frac{5 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.6.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.7

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} - 15)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 25 - 15)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.9

Subtraia $15$ de $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.10

Para escrever $- 5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.11

Combine $- 5$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.13

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.14

Some $5 x$ e $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 40)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.15

Cancele o fator comum de $20$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.11.1.15.1

Fatore $2$ de $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 40)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.15.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.11.1.15.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 40)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.15.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 40)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.15.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 40)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.15.2.4

Divida $10 x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (10 x - 40)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.16

Aplique a regra do produto a $\frac{x - 10}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 40)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.17

Fatore $10$ de $10 x - 40$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.11.1.17.1

Fatore $10$ de $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x) - 40)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.17.2

Fatore $10$ de $- 40$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x + 10 \cdot - 4)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.17.3

Fatore $10$ de $10 x + 10 \cdot - 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x - 4))}{2}$

Etapa 2.2.11.1.18

Combine $\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}}$ e $10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{2^{2}} \cdot (x - 4)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.19

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.20

Cancele o fator comum de $10$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.11.1.20.1

Fatore $2$ de ${(x - 10)}^{2} \cdot 10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.20.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.11.1.20.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 (2)} \cdot (x - 4)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.20.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 \cdot 2} \cdot (x - 4)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.20.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 5}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Etapa 2.2.11.1.21

Mova $5$ para a esquerda de ${(x - 10)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Etapa 2.2.11.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2})}{2}$

Etapa 2.2.11.3

Fatore $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ de $\frac{(x - 4) \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$

Etapa 2.2.11.4

Multiplique $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.11.4.1

Multiplique $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ por $\frac{x - 4}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.2.11.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$ .

$\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$5 {(x - 10)}^{2} (x - 4) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x - 10)}^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 3.3.2

Defina ${(x - 10)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Defina ${(x - 10)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 10)}^{2} = 0$

Etapa 3.3.2.2

Resolva ${(x - 10)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Defina $x - 10$ como igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Etapa 3.3.2.2.2

Some $10$ aos dois lados da equação.

$x = 10$

Etapa 3.3.3

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 3.3.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 3.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $5 {(x - 10)}^{2} (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 10, 4$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $10$ em $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $10$ na expressão.

$f (10) = (10) {(\frac{10}{2} - 5)}^{4}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Divida $10$ por $2$ .

$f (10) = 10 {(5 - 5)}^{4}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$f (10) = 10 \cdot 0^{4}$

Etapa 4.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (10) = 10 \cdot 0$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $10$ por $0$ .

$f (10) = 0$

Etapa 4.1.2.5

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $10$ em $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ é $(10, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(10, 0)$

Etapa 4.3

Substitua $4$ em $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = (4) {(\frac{4}{2} - 5)}^{4}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Divida $4$ por $2$ .

$f (4) = 4 {(2 - 5)}^{4}$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $5$ de $2$ .

$f (4) = 4 {(- 3)}^{4}$

Etapa 4.3.2.3

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$f (4) = 4 \cdot 81$

Etapa 4.3.2.4

Multiplique $4$ por $81$ .

$f (4) = 324$

Etapa 4.3.2.5

A resposta final é $324$ .

$324$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $4$ em $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ é $(4, 324)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(4, 324)$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(10, 0), (4, 324)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 4) \cup (4, 10) \cup (10, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 4)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $3.9$ na expressão.

$f'' (3.9) = \frac{5 {((3.9) - 10)}^{2} ((3.9) - 4)}{4}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Subtraia $10$ de $3.9$ .

$f'' (3.9) = \frac{5 {(- 6.1)}^{2} (3.9 - 4)}{4}$

Etapa 6.2.1.2

Subtraia $4$ de $3.9$ .

$f'' (3.9) = \frac{5 {(- 6.1)}^{2} \cdot - 0.1}{4}$

Etapa 6.2.1.3

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.3.1

Multiplique $- 0.1$ por $5$ .

$f'' (3.9) = \frac{- 0.5 {(- 6.1)}^{2}}{4}$

Etapa 6.2.1.3.2

Multiplique $- 0.5$ por ${(- 6.1)}^{2}$ .

$f'' (3.9) = \frac{- 18.605}{4}$

Etapa 6.2.2

Divida $- 18.605$ por $4$ .

$f'' (3.9) = - 4.65125$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 4.65125$ .

$- 4.65125$

Etapa 6.3

Em $3.9$ , a segunda derivada é $- 4.65125$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 4)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 4)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(4, 10)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f'' (7) = \frac{5 {((7) - 10)}^{2} ((7) - 4)}{4}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Subtraia $10$ de $7$ .

$f'' (7) = \frac{5 {(- 3)}^{2} (7 - 4)}{4}$

Etapa 7.2.1.2

Subtraia $4$ de $7$ .

$f'' (7) = \frac{5 {(- 3)}^{2} \cdot 3}{4}$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$f'' (7) = \frac{15 {(- 3)}^{2}}{4}$

Etapa 7.2.1.4

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f'' (7) = \frac{15 \cdot 9}{4}$

Etapa 7.2.2

Multiplique $15$ por $9$ .

$f'' (7) = \frac{135}{4}$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $\frac{135}{4}$ .

$\frac{135}{4}$

Etapa 7.3

Em $7$ , a segunda derivada é $33.75$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(4, 10)$ .

Acréscimo em $(4, 10)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(10, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $10.1$ na expressão.

$f'' (10.1) = \frac{5 {((10.1) - 10)}^{2} ((10.1) - 4)}{4}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Subtraia $10$ de $10.1$ .

$f'' (10.1) = \frac{5 \cdot ({0.1}^{2} (10.1 - 4))}{4}$

Etapa 8.2.1.2

Subtraia $4$ de $10.1$ .

$f'' (10.1) = \frac{5 \cdot {0.1}^{2} \cdot 6.1}{4}$

Etapa 8.2.1.3

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.3.1

Multiplique $6.1$ por $5$ .

$f'' (10.1) = \frac{30.5 \cdot {0.1}^{2}}{4}$

Etapa 8.2.1.3.2

Multiplique $30.5$ por ${0.1}^{2}$ .

$f'' (10.1) = \frac{0.305}{4}$

Etapa 8.2.2

Divida $0.305$ por $4$ .

$f'' (10.1) = 0.07625$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $0.07625$ .

$0.07625$

Etapa 8.3

Em $10.1$ , a segunda derivada é $0.07625$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(10, \infty)$ .

Acréscimo em $(10, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(4, 324)$ .

$(4, 324)$

Etapa 10