Cálculo Exemplos

$x \sqrt{x^{2} + 25}$

Etapa 1

Escreva $x \sqrt{x^{2} + 25}$ como uma função.

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 25}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 25}$ como ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 25$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 25$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.8

Combine frações.

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Etapa 2.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.8.3

Mova ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.11

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.12

Combine frações.

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Etapa 2.1.12.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.12.2

Combine $2$ e $\frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.12.3

Combine $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.13

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.16

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 2.1.16.1

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.16.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.16.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.1.17

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 2.1.18

Multiplique ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.1.19

Para escrever ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.21

Multiplique ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.21.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.21.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.21.3

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.21.4

Divida $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.22

Simplifique ${(x^{2} + 25)}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.23

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x^{2} + 25$ e $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.4

Diferencie.

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Etapa 2.2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.4.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.4.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.4.5

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.4.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.4.6.1

Some $4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.4.6.2

Mova $4$ para a esquerda de ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot ({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Etapa 2.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.10

Combine frações.

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Etapa 2.2.10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.10.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{{(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.10.3

Mova ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.13

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0))}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.14

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.14.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x))}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.14.2

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.14.3

Combine $\frac{2}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.14.4

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.14.5

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) \frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) - 1 \cdot 25) (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.15.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1 \cdot 25) (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 25) (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.2.2

Multiplique $- 2 x^{2} - 25$ por $\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.2.3

Para escrever $4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.2.5

Reescreva $\frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.15.2.5.1

Fatore $x$ de $4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 25) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.15.2.5.1.1

Fatore $x$ de $4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.2.5.1.2

Fatore $x$ de $(- 2 x^{2} - 25) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.2.5.1.3

Fatore $x$ de $x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} - 25)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.2.5.2

Multiplique ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.15.2.5.2.1

Mova ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 ({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.2.5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.2.5.2.4

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.2.5.2.5

Divida $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 (x^{2} + 25) - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.2.5.3

Simplifique $4 {(x^{2} + 25)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 (x^{2} + 25) - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.2.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} + 4 \cdot 25 - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.2.5.5

Multiplique $4$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} + 100 - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.2.5.6

Subtraia $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} + 100 - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.2.5.7

Subtraia $25$ de $100$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.15.3.1

Reescreva $\frac{\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 25}$

Etapa 2.2.15.3.2

Multiplique $\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} + 25}$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 25)}$

Etapa 2.2.15.3.3

Multiplique ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 25$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.15.3.3.1

Multiplique ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.15.3.3.1.1

Eleve $x^{2} + 25$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 25)}$

Etapa 2.2.15.3.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 2.2.15.3.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.15.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 2.2.15.3.3.4

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x (2 x^{2} + 75) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} + 75 = 0$

Etapa 3.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.3.3

Defina $2 x^{2} + 75$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Defina $2 x^{2} + 75$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} + 75 = 0$

Etapa 3.3.3.2

Resolva $2 x^{2} + 75 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Subtraia $75$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} = - 75$

Etapa 3.3.3.2.2

Divida cada termo em $2 x^{2} = - 75$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $2 x^{2} = - 75$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 75}{2}$

Etapa 3.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 75}{2}$

Etapa 3.3.3.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 75}{2}$

Etapa 3.3.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{2} = - \frac{75}{2}$

Etapa 3.3.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{75}{2}}$

Etapa 3.3.3.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{75}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.4.1

Reescreva $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{75}{2}}$

Etapa 3.3.3.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{75}{2}}$

Etapa 3.3.3.2.4.3

Reescreva $\sqrt{\frac{75}{2}}$ como $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.3.3.2.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.4.4.1

Reescreva $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.4.4.1.1

Fatore $25$ de $75$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{25 (3)}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.3.3.2.4.4.1.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.3.3.2.4.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.3.3.2.4.5

Multiplique $\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 3.3.3.2.4.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.4.6.1

Multiplique $\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.3.3.2.4.6.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 3.3.3.2.4.6.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 3.3.3.2.4.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.3.3.2.4.6.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.3.3.2.4.6.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.4.6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.3.3.2.4.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.3.3.2.4.6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.3.2.4.6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.4.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.3.3.2.4.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.3.3.2.4.6.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3.3.2.4.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.4.7.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{2 \cdot 3}}{2}$

Etapa 3.3.3.2.4.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.3.3.2.4.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.4.8.1

Combine $i$ e $\frac{5 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i (5 \sqrt{6})}{2}$

Etapa 3.3.3.2.4.8.2

Mova $5$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.3.3.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.3.3.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.3.3.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{5 i \sqrt{6}}{2}, - \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Etapa 3.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (2 x^{2} + 75) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{5 i \sqrt{6}}{2}, - \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ em $f (x) = x \sqrt{x^{2} + 25}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = (0) \sqrt{{(0)}^{2} + 25}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{0 + 25}$

Etapa 4.1.2.2

Some $0$ e $25$ .

$f (0) = 0 \sqrt{25}$

Etapa 4.1.2.3

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{5^{2}}$

Etapa 4.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (0) = 0 \cdot 5$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $0$ por $5$ .

$f (0) = 0$

Etapa 4.1.2.6

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = x \sqrt{x^{2} + 25}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = \frac{(- 0.1) (2 {(- 0.1)}^{2} + 75)}{{({(- 0.1)}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $- 0.1$ por $2 {(- 0.1)}^{2} + 75$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{({(- 0.1)}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{(0.01 + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $0.01$ e $25$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{25.01}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.2.2.3

Reescreva $25.01$ como ${5.0009999}^{2}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{({5.0009999}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6.2.2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{5.0009999}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 6.2.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{5.0009999}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 6.2.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{5.0009999}^{3}}$

Etapa 6.2.2.6

Eleve $5.0009999$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{125.07500749}$

Etapa 6.2.3

Divida $- 7.502$ por $125.07500749$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.05998$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- 0.05998$ .

$- 0.05998$

Etapa 6.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $- 0.05998$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = \frac{(0.1) (2 {(0.1)}^{2} + 75)}{{({(0.1)}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $0.1$ por $2 \cdot {0.1}^{2} + 75$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{({0.1}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{(0.01 + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $0.01$ e $25$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{25.01}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2.2.3

Reescreva $25.01$ como ${5.0009999}^{2}$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{({5.0009999}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 7.2.2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{5.0009999}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 7.2.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{5.0009999}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 7.2.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{5.0009999}^{3}}$

Etapa 7.2.2.6

Eleve $5.0009999$ à potência de $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{125.07500749}$

Etapa 7.2.3

Divida $7.502$ por $125.07500749$ .

$f'' (0.1) = 0.05998$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $0.05998$ .

$0.05998$

Etapa 7.3

Em $0.1$ , a segunda derivada é $0.05998$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Etapa 9