Cálculo Exemplos

$\frac{15}{13} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{15}{13} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{15}{13} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Como $\frac{15}{13}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{15}{13} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $\frac{15}{13} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 25$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 25$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 2.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 2.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 2.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 2.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 2.1.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 2.1.8

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2 {(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 2.1.9

Mova ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{15}{13} \cdot (\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))$

Etapa 2.1.10

Multiplique $\frac{2}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{15}{13}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 15}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 13} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Etapa 2.1.11

Multiplique.

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Etapa 2.1.11.1

Multiplique $2$ por $15$ .

$f' (x) = \frac{30}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 13} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Etapa 2.1.11.2

Multiplique $13$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{30}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Etapa 2.1.12

Fatore $3$ de $30$ .

$f' (x) = \frac{3 (10)}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Etapa 2.1.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.1.13.1

Fatore $3$ de $39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (10)}{3 (13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Etapa 2.1.13.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 10}{3 (13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Etapa 2.1.13.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)$

Etapa 2.1.14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f' (x) = \frac{10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))$

Etapa 2.1.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))$

Etapa 2.1.16

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Etapa 2.1.17

Combine frações.

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Etapa 2.1.17.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x)$

Etapa 2.1.17.2

Combine $2$ e $\frac{10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 10}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Etapa 2.1.17.3

Multiplique $2$ por $10$ .

$f' (x) = \frac{20}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Etapa 2.1.17.4

Combine $\frac{20}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{20 x}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{20}{13}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{20 x}{13 {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{20}{13} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.3.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 25$ .

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Etapa 2.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.6

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.8.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.9

Combine frações.

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Etapa 2.2.9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.9.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.9.3

Mova ${(x^{2} - 25)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.9.4

Combine $\frac{1}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.12

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.13

Combine frações.

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Etapa 2.2.13.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.13.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.13.3

Combine $- 2$ e $\frac{x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.13.4

Combine $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.17

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} - \frac{(2) x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.19

Para escrever ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.20

Combine ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.22

Multiplique ${(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}}$ por ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.22.1

Mova ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.22.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.22.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.22.4

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 25)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.22.5

Divida $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 25) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.23

Simplifique ${(x^{2} - 25)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 25) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.24

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2} - 25$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.25

Reescreva $\frac{\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.26

Multiplique $\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{{(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.27

Multiplique ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.27.1

Mova ${(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 2.2.27.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.27.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Etapa 2.2.27.4

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{20}{13} \cdot \frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.28

Multiplique $\frac{20}{13}$ por $\frac{3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{20 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})}{13 (3 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 2.2.29

Multiplique $3$ por $13$ .

$f'' (x) = \frac{20 (3 (x^{2} - 25) - 2 x^{2})}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.30.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{20 (3 x^{2} + 3 \cdot - 25 - 2 x^{2})}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{20 (3 x^{2}) + 20 (3 \cdot - 25) + 20 (- 2 x^{2})}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.30.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.30.3.1.1

Multiplique $3$ por $20$ .

$f'' (x) = \frac{60 x^{2} + 20 (3 \cdot - 25) + 20 (- 2 x^{2})}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30.3.1.2

Multiplique $20 (3 \cdot - 25)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.30.3.1.2.1

Multiplique $3$ por $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{60 x^{2} + 20 \cdot - 75 + 20 (- 2 x^{2})}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30.3.1.2.2

Multiplique $20$ por $- 75$ .

$f'' (x) = \frac{60 x^{2} - 1500 + 20 (- 2 x^{2})}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $20$ .

$f'' (x) = \frac{60 x^{2} - 1500 - 40 x^{2}}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30.3.2

Subtraia $40 x^{2}$ de $60 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{2} - 1500}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30.4

Fatore $20$ de $20 x^{2} - 1500$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.30.4.1

Fatore $20$ de $20 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{20 (x^{2}) - 1500}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30.4.2

Fatore $20$ de $- 1500$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{2} + 20 \cdot - 75}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.30.4.3

Fatore $20$ de $20 x^{2} + 20 \cdot - 75$ .

$f'' (x) = \frac{20 (x^{2} - 75)}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{20 (x^{2} - 75)}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{20 (x^{2} - 75)}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{20 (x^{2} - 75)}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{20 (x^{2} - 75)}{39 {(x^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$20 (x^{2} - 75) = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $20 (x^{2} - 75) = 0$ por $20$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Divida cada termo em $20 (x^{2} - 75) = 0$ por $20$ .

$\frac{20 (x^{2} - 75)}{20} = \frac{0}{20}$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $20$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20 (x^{2} - 75)}{20} = \frac{0}{20}$

Etapa 3.3.1.2.1.2

Divida $x^{2} - 75$ por $1$ .

$x^{2} - 75 = \frac{0}{20}$

Etapa 3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.3.1

Divida $0$ por $20$ .

$x^{2} - 75 = 0$

Etapa 3.3.2

Some $75$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 75$

Etapa 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{75}$

Etapa 3.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{75}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Reescreva $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1.1

Fatore $25$ de $75$ .

$x = \pm \sqrt{25 (3)}$

Etapa 3.3.4.1.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Etapa 3.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 5 \sqrt{3}$

Etapa 3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5 \sqrt{3}$

Etapa 3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5 \sqrt{3}$

Etapa 3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $5 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{15}{13} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $5 \sqrt{3}$ na expressão.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {({(5 \sqrt{3})}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{3}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(5^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 {\sqrt{3}}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $25$ por $3$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(75 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $25$ de $75$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot 50^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.1.2.2.2

Combine $\frac{15}{13}$ e $50^{\frac{2}{3}}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $\frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}$ .

$\frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $5 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{15}{13} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ é $(5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$

Etapa 4.3

Substitua $- 5 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{15}{13} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 5 \sqrt{3}$ na expressão.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {({(- 5 \sqrt{3})}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- 5 \sqrt{3}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {({(- 5)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 {\sqrt{3}}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(25 \cdot 3 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $25$ por $3$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot {(75 - 25)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Subtraia $25$ de $75$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15}{13} \cdot 50^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3.2.2.2

Combine $\frac{15}{13}$ e $50^{\frac{2}{3}}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $\frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}$ .

$\frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}$

Etapa 4.4

O ponto encontrado ao substituir $- 5 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{15}{13} \cdot {(x^{2} - 25)}^{\frac{2}{3}}$ é $(- 5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$

Etapa 4.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}), (- 5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 5 \sqrt{3}) \cup (- 5 \sqrt{3}, 5 \sqrt{3}) \cup (5 \sqrt{3}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 8.76025403$ na expressão.

$f'' (- 8.76025403) = \frac{20 ({(- 8.76025403)}^{2} - 75)}{39 {({(- 8.76025403)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 8.76025403$ à potência de $2$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{20 (76.7420508 - 75)}{39 {({(- 8.76025403)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 6.2.1.2

Subtraia $75$ de $76.7420508$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 {({(- 8.76025403)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Eleve $- 8.76025403$ à potência de $2$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 {(76.7420508 - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $25$ de $76.7420508$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 \cdot {51.7420508}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $51.7420508$ à potência de $\frac{4}{3}$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 \cdot 192.80791167}$

Etapa 6.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $20$ por $1.7420508$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{34.84101615}{39 \cdot 192.80791167}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $39$ por $192.80791167$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{34.84101615}{7519.50855551}$

Etapa 6.2.3.3

Divida $34.84101615$ por $7519.50855551$ .

$f'' (- 8.76025403) = 0.00463341$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $0.00463341$ .

$0.00463341$

Etapa 6.3

Em $- 8.76025403$ , a segunda derivada é $0.00463341$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 5 \sqrt{3}, 5 \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = \frac{20 ({(0)}^{2} - 75)}{39 {({(0)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{20 (0 - 75)}{39 {(0^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.1.2

Subtraia $75$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{20 \cdot - 75}{39 {(0^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = \frac{20 \cdot - 75}{39 {(0 - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $25$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{20 \cdot - 75}{39 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.3

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $20$ por $- 75$ .

$f'' (0) = \frac{- 1500}{39 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.3.2

Fatore $3$ de $- 1500$ .

$f'' (0) = \frac{3 (- 500)}{39 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Fatore $3$ de $39 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (0) = \frac{3 (- 500)}{3 (13 {(- 25)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 7.2.4.2

Cancele o fator comum.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 500}{3 (13 {(- 25)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 7.2.4.3

Reescreva a expressão.

$f'' (0) = \frac{- 500}{13 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (0) = - \frac{500}{13 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.2.6

A resposta final é $- \frac{500}{13 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{500}{13 {(- 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 7.3

Em $0$ , a segunda derivada é $- 0.52614644$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 5 \sqrt{3}, 5 \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(- 5 \sqrt{3}, 5 \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(5 \sqrt{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $8.76025403$ na expressão.

$f'' (8.76025403) = \frac{20 ({(8.76025403)}^{2} - 75)}{39 {({(8.76025403)}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $8.76025403$ à potência de $2$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{20 (76.7420508 - 75)}{39 {({8.76025403}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.2.1.2

Subtraia $75$ de $76.7420508$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 {({8.76025403}^{2} - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Eleve $8.76025403$ à potência de $2$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 {(76.7420508 - 25)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $25$ de $76.7420508$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 \cdot {51.7420508}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 8.2.2.3

Eleve $51.7420508$ à potência de $\frac{4}{3}$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{20 \cdot 1.7420508}{39 \cdot 192.80791167}$

Etapa 8.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Multiplique $20$ por $1.7420508$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{34.84101615}{39 \cdot 192.80791167}$

Etapa 8.2.3.2

Multiplique $39$ por $192.80791167$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{34.84101615}{7519.50855551}$

Etapa 8.2.3.3

Divida $34.84101615$ por $7519.50855551$ .

$f'' (8.76025403) = 0.00463341$

Etapa 8.2.4

A resposta final é $0.00463341$ .

$0.00463341$

Etapa 8.3

Em $8.76025403$ , a segunda derivada é $0.00463341$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(5 \sqrt{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(5 \sqrt{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}), (5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$ .

$(- 5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13}), (5 \sqrt{3}, \frac{15 \cdot 50^{\frac{2}{3}}}{13})$

Etapa 10