Cálculo Exemplos

$x^{2} e^{3 x}$

Etapa 1

Escreva $x^{2} e^{3 x}$ como uma função.

$f (x) = x^{2} e^{3 x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.1.3.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$f' (x) = x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Reordene os termos.

$f' (x) = 3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$

Etapa 2.1.4.2

Reordene os fatores em $3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$

Etapa 3.2

Fatore $x e^{3 x}$ de $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $x e^{3 x}$ de $3 x^{2} e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + 2 x e^{3 x} = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore $x e^{3 x}$ de $2 x e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2) = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $x e^{3 x}$ de $x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2)$ .

$x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{3 x} = 0$

$3 x + 2 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

Defina $e^{3 x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $e^{3 x}$ como igual a $0$ .

$e^{3 x} = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $e^{3 x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.5.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (0)$

Etapa 3.5.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.5.2.3

Não há uma solução para $e^{3 x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 3.6

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $3 x + 2$ como igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Etapa 3.6.2

Resolva $3 x + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.6.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 2$

Etapa 3.6.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.6.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.6.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{2}{3}$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, - \frac{2}{3}$ .

$0, - \frac{2}{3}$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.6666667$ na expressão.

$f' (- 1.6666667) = 3 {(- 1.6666667)}^{2} e^{3 (- 1.6666667)} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1.6666667$ à potência de $2$ .

$f' (- 1.6666667) = 3 \cdot (2.777777\overline{8} e^{3 (- 1.6666667)}) + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $2.777777\overline{8}$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} e^{3 (- 1.6666667)} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $3$ por $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} e^{- 5.0000001} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Etapa 6.2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} (\frac{1}{e^{5.0000001}}) + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Etapa 6.2.1.5

Combine $8.333333\overline{6}$ e $\frac{1}{e^{5.0000001}}$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{8.333333\overline{6}}{e^{5.0000001}} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Etapa 6.2.1.6

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f' (- 1.6666667) = \frac{8.333333\overline{6}}{{2.71828182}^{5.0000001}} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Etapa 6.2.1.7

Eleve $2.71828182$ à potência de $5.0000001$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{8.333333\overline{6}}{148.41317394} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Etapa 6.2.1.8

Divida $8.333333\overline{6}$ por $148.41317394$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Etapa 6.2.1.9

Multiplique $2$ por $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 3.3333334 \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Etapa 6.2.1.10

Multiplique $3$ por $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 3.3333334 \cdot e^{- 5.0000001}$

Etapa 6.2.1.11

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 3.3333334 \cdot \frac{1}{e^{5.0000001}}$

Etapa 6.2.1.12

Combine $- 3.3333334$ e $\frac{1}{e^{5.0000001}}$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 + \frac{- 3.3333334}{e^{5.0000001}}$

Etapa 6.2.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - \frac{3.3333334}{e^{5.0000001}}$

Etapa 6.2.1.14

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - \frac{3.3333334}{{2.71828182}^{5.0000001}}$

Etapa 6.2.1.15

Eleve $2.71828182$ à potência de $5.0000001$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - \frac{3.3333334}{148.41317394}$

Etapa 6.2.1.16

Divida $3.3333334$ por $148.41317394$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 1 \cdot 0.02245982$

Etapa 6.2.1.17

Multiplique $- 1$ por $0.02245982$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 0.02245982$

Etapa 6.2.2

Subtraia $0.02245982$ de $0.05614955$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.03368973$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $0.03368973$ .

$0.03368973$

Etapa 6.3

Em $x = - 1.6666667$ , a derivada é $0.03368973$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Acréscimo em $(- \infty, - \frac{2}{3})$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 0.6666667, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.\overline{3}$ na expressão.

$f' (- 0.\overline{3}) = 3 {(- 0.\overline{3})}^{2} e^{3 (- 0.\overline{3})} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 0.\overline{3}$ à potência de $2$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 3 \cdot (0.11111112 e^{3 (- 0.\overline{3})}) + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $0.11111112$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.33333336 e^{3 (- 0.\overline{3})} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $3$ por $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.33333336 e^{- 1.00000005} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Etapa 7.2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.33333336 (\frac{1}{e^{1.00000005}}) + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Etapa 7.2.1.5

Combine $0.33333336$ e $\frac{1}{e^{1.00000005}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = \frac{0.33333336}{e^{1.00000005}} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Etapa 7.2.1.6

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f' (- 0.\overline{3}) = \frac{0.33333336}{{2.71828182}^{1.00000005}} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Etapa 7.2.1.7

Eleve $2.71828182$ à potência de $1.00000005$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = \frac{0.33333336}{2.71828196} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Etapa 7.2.1.8

Divida $0.33333336$ por $2.71828196$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Etapa 7.2.1.9

Multiplique $2$ por $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.6666667 \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Etapa 7.2.1.10

Multiplique $3$ por $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.6666667 \cdot e^{- 1.00000005}$

Etapa 7.2.1.11

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.6666667 \cdot \frac{1}{e^{1.00000005}}$

Etapa 7.2.1.12

Combine $- 0.6666667$ e $\frac{1}{e^{1.00000005}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 + \frac{- 0.6666667}{e^{1.00000005}}$

Etapa 7.2.1.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - \frac{0.6666667}{e^{1.00000005}}$

Etapa 7.2.1.14

Substitua $e$ por uma aproximação.

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - \frac{0.6666667}{{2.71828182}^{1.00000005}}$

Etapa 7.2.1.15

Eleve $2.71828182$ à potência de $1.00000005$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - \frac{0.6666667}{2.71828196}$

Etapa 7.2.1.16

Divida $0.6666667$ por $2.71828196$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 1 \cdot 0.24525296$

Etapa 7.2.1.17

Multiplique $- 1$ por $0.24525296$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.24525296$

Etapa 7.2.2

Subtraia $0.24525296$ de $0.12262648$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - 0.12262647$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 0.12262647$ .

$- 0.12262647$

Etapa 7.3

Em $x = - 0.\overline{3}$ , a derivada é $- 0.12262647$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 0.6666667, 0)$ .

Decréscimo em $(- \frac{2}{3}, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} e^{3 (1)} + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 3 \cdot (1 e^{3 (1)}) + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3 (1)} + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3} + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Etapa 8.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3} + 2 \cdot e^{3 (1)}$

Etapa 8.2.1.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3} + 2 e^{3}$

Etapa 8.2.2

Some $3 e^{3}$ e $2 e^{3}$ .

$f' (1) = 5 e^{3}$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $5 e^{3}$ .

$5 e^{3}$

Etapa 8.3

Em $x = 1$ , a derivada é $5 e^{3}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - \frac{2}{3}), (0, \infty)$

Decréscimo em: $(- \frac{2}{3}, 0)$

Etapa 10