Cálculo Exemplos

$- \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Escreva $- \cos^{2} (x)$ como uma função.

$f (x) = - \cos^{2} (x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} \cos^{2} (x)$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 2.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = - (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$f' (x) = - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.1.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Etapa 2.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 2.1.6

Simplifique.

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Etapa 2.1.6.1

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$f' (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

Etapa 2.1.6.2

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (\sin (x) \cos (x))$

Etapa 2.1.6.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x)$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\sin (2 x) = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Etapa 3.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (0)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$2 x = 0$

Etapa 3.4

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.4.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 3.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 x = π - 0$

Etapa 3.6

Resolva $x$ .

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Etapa 3.6.1

Simplifique.

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Etapa 3.6.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 x = π + 0$

Etapa 3.6.1.2

Some $π$ e $0$ .

$2 x = π$

Etapa 3.6.2

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.6.2.1

Divida cada termo em $2 x = π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 3.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 3.6.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 3.7

Encontre o período de $\sin (2 x)$ .

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Etapa 3.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.7.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 3.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 3.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 3.7.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.8

O período da função $\sin (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.9

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = \sin (2 x)$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = - \cos^{2} (x)$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{π n}{2})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π n}{2} - 1$ na expressão.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} - 1))$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Etapa 6.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n + 2 \cdot - 1)$

Etapa 6.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n - 2)$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\sin (π n - 2)$ .

$\sin (π n - 2)$

Etapa 6.3

Em $x = \frac{π n}{2} - 1$ , a derivada é $\sin (π n - 2)$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, \frac{π n}{2})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{π n}{2})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{π n}{2}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π n}{2} + 1$ na expressão.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} + 1))$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Etapa 7.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2 \cdot 1)$

Etapa 7.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2)$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $\sin (π n + 2)$ .

$\sin (π n + 2)$

Etapa 7.3

Em $x = \frac{π n}{2} + 1$ , a derivada é $\sin (π n + 2)$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(\frac{π n}{2}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{π n}{2}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(\frac{π n}{2}, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, \frac{π n}{2})$

Etapa 9