Cálculo Exemplos

$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

Etapa 1

Escreva $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ como uma função.

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{\frac{5}{3}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.1.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.1.2.6.2

Subtraia $3$ de $5$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.1.2.7

Combine $\frac{5}{3}$ e $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.1.2.8

Combine $2$ e $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.1.2.9

Multiplique $5$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{\frac{4}{3}}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{3}}$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

Etapa 2.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 2.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 2.1.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

Etapa 2.1.3.6.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.1.3.7

Combine $\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 2.1.3.8

Combine $- 5$ e $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 5 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Etapa 2.1.3.9

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 2.1.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Etapa 3.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = 0, 8$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, 8$ .

$0, 8$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 6.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.2.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 6.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 6.2.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 6.2.2.3.2

Reescreva a expressão.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{2} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 6.2.2.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{10 \cdot 1 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 6.2.2.5

Multiplique $10$ por $1$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 6.2.2.6

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 6.2.2.7

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Etapa 6.2.2.8

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.2.8.1

Cancele o fator comum.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Etapa 6.2.2.8.2

Reescreva a expressão.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

Etapa 6.2.2.9

Avalie o expoente.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

Etapa 6.2.2.10

Multiplique $- 20$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{10 + 20}{3}$

Etapa 6.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.3.1

Some $10$ e $20$ .

$f' (- 1) = \frac{30}{3}$

Etapa 6.2.3.2

Divida $30$ por $3$ .

$f' (- 1) = 10$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $10$ .

$10$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $10$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, 0)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, 8)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 7.2.2

Remova os parênteses.

$f' (4) = \frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 7.3

Em $x = 4$ , a derivada é $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 8)$ .

Decréscimo em $(0, 8)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(8, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $9$ na expressão.

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 8.2.2

Remova os parênteses.

$f' (9) = \frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 8.3

Em $x = 9$ , a derivada é $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(8, \infty)$ .

Decréscimo em $(8, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, 0)$

Decréscimo em: $(0, 8), (8, \infty)$

Etapa 10