Cálculo Exemplos

$\frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 + e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.5

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.5.1

Mova $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.5.3

Some $x$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.6

Simplifique.

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Etapa 2.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.6.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.6.2.1

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.6.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.6.2.1.2

Some $x$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.6.2.2

Combine os termos opostos em $3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

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Etapa 2.1.6.2.2.1

Subtraia $e^{2 x}$ de $e^{2 x}$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + 0}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.1.6.2.2.2

Some $3 e^{x}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$

Etapa 3.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 e^{x} = 0$

Etapa 3.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 3.3.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3 e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 3.3.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.3.3

Não há uma solução para $3 e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 4

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 5

Nenhum ponto torna a derivada $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida. O intervalo para verificar se $f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$ está aumentando ou diminuindo é $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Etapa 6

Substitua qualquer número, como $1$ , no intervalo $(- \infty, \infty)$ na derivada $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo. Se o resultado for negativo, o gráfico está diminuindo no intervalo $(- \infty, \infty)$ . Se o resultado for positivo, o gráfico está aumentando no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = \frac{3 e^{1}}{{(3 + e^{1})}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique.

$f' (1) = \frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$ .

$\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$

Etapa 7

O resultado da substituição de $1$ em $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ é $\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$ , que é positivo, então o gráfico aumenta no intervalo $(- \infty, \infty)$ .

Acréscimo em $(- \infty, \infty)$ , pois $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} > 0$

Etapa 8

Acréscimo sobre o intervalo $(- \infty, \infty)$ significa que a função é sempre crescente.

Sempre crescente

Etapa 9