Cálculo Exemplos

$8 x - y^{2} = 23 y$ ; $(3, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 3$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (8 x - y^{2}) = \frac{d}{d x} (23 y)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x - y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$8 - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$8 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$8 - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$8 - (2 y y')$

Etapa 1.2.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$8 - 2 y y'$

Etapa 1.2.4

Reordene os termos.

$- 2 y y' + 8$

Etapa 1.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.1

Como $23$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $23 y$ em relação a $x$ é $23 \frac{d}{d x} [y]$ .

$23 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$23 y'$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 2 y y' + 8 = 23 y'$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Subtraia $23 y'$ dos dois lados da equação.

$- 2 y y' + 8 - 23 y' = 0$

Etapa 1.5.2

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$- 2 y y' - 23 y' = - 8$

Etapa 1.5.3

Fatore $y'$ de $- 2 y y' - 23 y'$ .

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Etapa 1.5.3.1

Fatore $y'$ de $- 2 y y'$ .

$y' (- 2 y) - 23 y' = - 8$

Etapa 1.5.3.2

Fatore $y'$ de $- 23 y'$ .

$y' (- 2 y) + y' \cdot - 23 = - 8$

Etapa 1.5.3.3

Fatore $y'$ de $y' (- 2 y) + y' \cdot - 23$ .

$y' (- 2 y - 23) = - 8$

Etapa 1.5.4

Divida cada termo em $y' (- 2 y - 23) = - 8$ por $- 2 y - 23$ e simplifique.

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Etapa 1.5.4.1

Divida cada termo em $y' (- 2 y - 23) = - 8$ por $- 2 y - 23$ .

$\frac{y' (- 2 y - 23)}{- 2 y - 23} = \frac{- 8}{- 2 y - 23}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 2 y - 23$ .

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Etapa 1.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 2 y - 23)}{- 2 y - 23} = \frac{- 8}{- 2 y - 23}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 8}{- 2 y - 23}$

Etapa 1.5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{8}{- 2 y - 23}$

Etapa 1.5.4.3.2

Fatore $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = - \frac{8}{- (2 y) - 23}$

Etapa 1.5.4.3.3

Reescreva $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$y' = - \frac{8}{- (2 y) - 1 (23)}$

Etapa 1.5.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- (2 y) - 1 (23)$ .

$y' = - \frac{8}{- (2 y + 23)}$

Etapa 1.5.4.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.5.4.3.5.1

Reescreva $- (2 y + 23)$ como $- 1 (2 y + 23)$ .

$y' = - \frac{8}{- 1 (2 y + 23)}$

Etapa 1.5.4.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - - \frac{8}{2 y + 23}$

Etapa 1.5.4.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y' = 1 \frac{8}{2 y + 23}$

Etapa 1.5.4.3.5.4

Multiplique $\frac{8}{2 y + 23}$ por $1$ .

$y' = \frac{8}{2 y + 23}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{2 y + 23}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 3$ e $y = 1$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$\frac{8}{2 y + 23}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $1$ na expressão.

$\frac{8}{2 (1) + 23}$

Etapa 1.7.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{8}{2 + 23}$

Etapa 1.7.3.2

Some $2$ e $23$ .

$\frac{8}{25}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{8}{25}$ e um ponto determinado $(3, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{8}{25} \cdot (x - (3))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = \frac{8}{25} \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{8}{25} \cdot (x - 3)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{8}{25} \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = \frac{8}{25} \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = \frac{8}{25} x + \frac{8}{25} \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{8}{25}$ e $x$ .

$y - 1 = \frac{8 x}{25} + \frac{8}{25} \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $\frac{8}{25} \cdot - 3$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Combine $\frac{8}{25}$ e $- 3$ .

$y - 1 = \frac{8 x}{25} + \frac{8 \cdot - 3}{25}$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $8$ por $- 3$ .

$y - 1 = \frac{8 x}{25} + \frac{- 24}{25}$

Etapa 2.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 1 = \frac{8 x}{25} - \frac{24}{25}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{8 x}{25} - \frac{24}{25} + 1$

Etapa 2.3.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = \frac{8 x}{25} - \frac{24}{25} + \frac{25}{25}$

Etapa 2.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{8 x}{25} + \frac{- 24 + 25}{25}$

Etapa 2.3.2.4

Some $- 24$ e $25$ .

$y = \frac{8 x}{25} + \frac{1}{25}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{8}{25} x + \frac{1}{25}$

Etapa 3