Cálculo Exemplos

$12 e^{- t} \cos (t) - 12 e^{- t} \sin (t) = 0$

Etapa 1

Fatore $12 e^{- t} \cos (t) - 12 e^{- t} \sin (t)$ .

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Etapa 1.1

Fatore $12 e^{- t}$ de $12 e^{- t} \cos (t) - 12 e^{- t} \sin (t)$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $12 e^{- t}$ de $12 e^{- t} \cos (t)$ .

$12 e^{- t} \cos (t) - 12 e^{- t} \sin (t) = 0$

Etapa 1.1.2

Fatore $12 e^{- t}$ de $- 12 e^{- t} \sin (t)$ .

$12 e^{- t} \cos (t) + 12 e^{- t} (- 1 \sin (t)) = 0$

Etapa 1.1.3

Fatore $12 e^{- t}$ de $12 e^{- t} \cos (t) + 12 e^{- t} (- 1 \sin (t))$ .

$12 e^{- t} (\cos (t) - 1 \sin (t)) = 0$

Etapa 1.2

Reescreva $- 1 \sin (t)$ como $- \sin (t)$ .

$12 e^{- t} (\cos (t) - \sin (t)) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- t} = 0$

$\cos (t) - \sin (t) = 0$

Etapa 3

Defina $e^{- t}$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

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Etapa 3.1

Defina $e^{- t}$ como igual a $0$ .

$e^{- t} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $e^{- t} = 0$ para $t$ .

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Etapa 3.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- t}) = \ln (0)$

Etapa 3.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.2.3

Não há uma solução para $e^{- t} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 4

Defina $\cos (t) - \sin (t)$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

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Etapa 4.1

Defina $\cos (t) - \sin (t)$ como igual a $0$ .

$\cos (t) - \sin (t) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\cos (t) - \sin (t) = 0$ para $t$ .

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Etapa 4.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (t)$ .

$\frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{- \sin (t)}{\cos (t)} = \frac{0}{\cos (t)}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $\cos (t)$ .

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{- \sin (t)}{\cos (t)} = \frac{0}{\cos (t)}$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- \sin (t)}{\cos (t)} = \frac{0}{\cos (t)}$

Etapa 4.2.3

Separe as frações.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (t)}{\cos (t)} = \frac{0}{\cos (t)}$

Etapa 4.2.4

Converta de $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ em $\tan (t)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (t) = \frac{0}{\cos (t)}$

Etapa 4.2.5

Divida $- 1$ por $1$ .

$1 - \tan (t) = \frac{0}{\cos (t)}$

Etapa 4.2.6

Separe as frações.

$1 - \tan (t) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (t)}$

Etapa 4.2.7

Converta de $\frac{1}{\cos (t)}$ em $\sec (t)$ .

$1 - \tan (t) = \frac{0}{1} \cdot \sec (t)$

Etapa 4.2.8

Divida $0$ por $1$ .

$1 - \tan (t) = 0 \sec (t)$

Etapa 4.2.9

Multiplique $0$ por $\sec (t)$ .

$1 - \tan (t) = 0$

Etapa 4.2.10

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \tan (t) = - 1$

Etapa 4.2.11

Divida cada termo em $- \tan (t) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.2.11.1

Divida cada termo em $- \tan (t) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (t)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.11.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.11.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan (t)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.11.2.2

Divida $\tan (t)$ por $1$ .

$\tan (t) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.11.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.11.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (t) = 1$

Etapa 4.2.12

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro da tangente.

$t = \arctan (1)$

Etapa 4.2.13

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.13.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$t = \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.14

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$t = π + \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.15

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 4.2.15.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$t = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.15.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.15.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$t = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.15.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$t = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 4.2.15.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.15.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$t = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 4.2.15.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$t = \frac{5 π}{4}$

Etapa 4.2.16

Encontre o período de $\tan (t)$ .

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Etapa 4.2.16.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 4.2.16.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.16.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 4.2.16.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.2.17

O período da função $\tan (t)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$t = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $12 e^{- t} (\cos (t) - \sin (t)) = 0$ verdadeiro.

$t = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Consolide as respostas.

$t = \frac{π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$