Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ ; $[1, e^{3}]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Some $\frac{1}{e}$ aos dois lados da equação.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$

Etapa 1.2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, e + y = 0$

Etapa 1.2.2.2

Como $x, e$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $x, e$ 1) e, depois, o da parte variável $x, e$ .

Etapa 1.2.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

$1$ Liste os fatores primos de cada número.

Etapa 1.2.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.2.2.5

O MMC de $1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1 + y = 0$

Etapa 1.2.2.6

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x = x$

Etapa 1.2.2.7

O MMC de $x^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x + y = 0$

Etapa 1.2.3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ por $x$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ por $x$ .

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{1}{e} x$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Combine $\frac{1}{e}$ e $x$ .

$1 = \frac{x}{e}$

Etapa 1.2.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Reescreva a equação como $\frac{x}{e} = 1$ .

$\frac{x}{e} = 1$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique os dois lados da equação por $e$ .

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

Etapa 1.2.4.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $e$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

Etapa 1.2.4.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = e \cdot 1$

Etapa 1.2.4.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.3.2.1

Multiplique $e$ por $1$ .

$x = e$

Etapa 1.3

Substitua $e$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(e, 0)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x - \int_{1}^{e} 0 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $1$ e $e$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} - (0) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $0$ de $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

Etapa 3.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

Etapa 3.5

Aplique a regra da constante.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

Etapa 3.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Combine $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ e $- \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$ .

$\ln (| x |) - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

Etapa 3.6.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Avalie $\ln (| x |) - \frac{1}{e} x$ em $e$ e em $1$ .

$(\ln (| e |) - \frac{1}{e} e) - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Etapa 3.6.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.1

Combine $e$ e $\frac{1}{e}$ .

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Etapa 3.6.2.2.2

Cancele o fator comum de $e$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Etapa 3.6.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| e |) - 1 \cdot 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Etapa 3.6.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Etapa 3.6.2.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Etapa 3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

$e$ é aproximadamente $2.71828182$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\ln (e) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Etapa 3.7.1.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$1 - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Etapa 3.7.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$1 - 1 - (\ln (1) - \frac{1}{e})$

Etapa 3.7.1.3.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$1 - 1 - (0 - \frac{1}{e})$

Etapa 3.7.1.4

Subtraia $\frac{1}{e}$ de $0$ .

$1 - 1 - - \frac{1}{e}$

Etapa 3.7.1.5

Multiplique $- - \frac{1}{e}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 1 + 1 \frac{1}{e}$

Etapa 3.7.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{e}$ por $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{e}$

Etapa 3.7.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$0 + \frac{1}{e}$

Etapa 3.7.3

Some $0$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Etapa 4

$A r e a = \int_{e}^{e^{3}} 0 d x - \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

Etapa 5

Integre para encontrar a área entre $e$ e $e^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{e}^{e^{3}} 0 - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

Etapa 5.2

Subtraia $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ de $0$ .

$\int_{e}^{e^{3}} - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{e} d x$

Etapa 5.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Etapa 5.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Etapa 5.6

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Etapa 5.7

Aplique a regra da constante.

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

Etapa 5.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1.1

Avalie $\ln (| x |)$ em $e^{3}$ e em $e$ .

$- ((\ln (| e^{3} |)) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

Etapa 5.8.1.2

Avalie $\frac{1}{e} x$ em $e^{3}$ e em $e$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} e^{3} - \frac{1}{e} e$

Etapa 5.8.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1.3.1

Combine $\frac{1}{e}$ e $e^{3}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{3}}{e} - \frac{1}{e} e$

Etapa 5.8.1.3.2

Cancele o fator comum de $e^{3}$ e $e$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1.3.2.1

Fatore $e$ de $e^{3}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e} - \frac{1}{e} e$

Etapa 5.8.1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1.3.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

Etapa 5.8.1.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

Etapa 5.8.1.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{2}}{1} - \frac{1}{e} e$

Etapa 5.8.1.3.2.2.4

Divida $e^{2}$ por $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{1}{e} e$

Etapa 5.8.1.3.3

Combine $e$ e $\frac{1}{e}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

Etapa 5.8.1.3.4

Cancele o fator comum de $e$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

Etapa 5.8.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 5.8.1.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1$

Etapa 5.8.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| e^{3} |}{| e |}) + e^{2} - 1$

Etapa 5.8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.3.1

$e^{3}$ é aproximadamente $20.08553692$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$- \ln (\frac{e^{3}}{| e |}) + e^{2} - 1$

Etapa 5.8.3.2

$e$ é aproximadamente $2.71828182$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$- \ln (\frac{e^{3}}{e}) + e^{2} - 1$

Etapa 5.8.3.3

Cancele o fator comum de $e^{3}$ e $e$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.3.3.1

Fatore $e$ de $e^{3}$ .

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e}) + e^{2} - 1$

Etapa 5.8.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.3.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

Etapa 5.8.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

Etapa 5.8.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \ln (\frac{e^{2}}{1}) + e^{2} - 1$

Etapa 5.8.3.3.2.4

Divida $e^{2}$ por $1$ .

$- \ln (e^{2}) + e^{2} - 1$

Etapa 5.8.3.4

Use as regras logarítmicas para mover $2$ para fora do expoente.

$- (2 \ln (e)) + e^{2} - 1$

Etapa 5.8.3.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- (2 \cdot 1) + e^{2} - 1$

Etapa 5.8.3.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 1 \cdot 2 + e^{2} - 1$

Etapa 5.8.3.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 + e^{2} - 1$

Etapa 5.8.3.8

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$e^{2} - 3$

Etapa 6