Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 e^{x} - 3$ ; $[- 4, 3]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$4 e^{x} - 3 = 0$

Etapa 1.2

Resolva $4 e^{x} - 3 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$4 e^{x} = 3$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $4 e^{x} = 3$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $4 e^{x} = 3$ por $4$ .

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida $e^{x}$ por $1$ .

$e^{x} = \frac{3}{4}$

Etapa 1.2.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 1.2.4

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 1.2.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 1.2.4.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 1.3

Substitua $\ln (\frac{3}{4})$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(\ln (\frac{3}{4}), 0)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 d x - \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 4 e^{x} - 3 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 4$ e $\ln (\frac{3}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $4 e^{x} - 3$ de $0$ .

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x} - 3) d x$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x}) + 3 d x$

Etapa 3.4

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 e^{x} - - 3$

Etapa 3.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} + 3 d x$

Etapa 3.5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Etapa 3.6

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$- 4 \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Etapa 3.7

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Etapa 3.8

Aplique a regra da constante.

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

Etapa 3.9

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Avalie $e^{x}$ em $\ln (\frac{3}{4})$ e em $- 4$ .

$- 4 ((e^{\ln (\frac{3}{4})}) - e^{- 4}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

Etapa 3.9.2

Avalie $3 x$ em $\ln (\frac{3}{4})$ e em $- 4$ .

$- 4 (e^{\ln (\frac{3}{4})} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

Etapa 3.9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.3.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

Etapa 3.9.3.2

Multiplique $- 3$ por $- 4$ .

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Etapa 3.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (\frac{3}{4} - \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Etapa 3.10.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 (\frac{3}{4}) - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Etapa 3.10.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1.3.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Etapa 3.10.1.3.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot - 1 \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Etapa 3.10.1.3.3

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Etapa 3.10.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Etapa 3.10.1.5

Multiplique $- 4 (- \frac{1}{e^{4}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$- 3 + 4 \frac{1}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Etapa 3.10.1.5.2

Combine $4$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$- 3 + \frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Etapa 3.10.2

Some $- 3$ e $12$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9$

Etapa 4

$A r e a = \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x - \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 d x$

Etapa 5

Integre para encontrar a área entre $\ln (\frac{3}{4})$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Integre para encontrar a área entre $\ln (\frac{3}{4})$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

Etapa 5.1.2

Subtraia $4 e^{x} - 3$ de $0$ .

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x} - 3) d x$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x}) + 3 d x$

Etapa 5.1.4

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 e^{x} - - 3$

Etapa 5.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} + 3 d x$

Etapa 5.1.5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Etapa 5.1.6

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$- 4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Etapa 5.1.7

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Etapa 5.1.8

Aplique a regra da constante.

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Etapa 5.1.9

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.9.1

Avalie $e^{x}$ em $3$ e em $\ln (\frac{3}{4})$ .

$- 4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Etapa 5.1.9.2

Avalie $3 x$ em $3$ e em $\ln (\frac{3}{4})$ .

$- 4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 5.1.9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.9.3.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 5.1.9.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 5.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.10.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 e^{3} - 4 (- \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 5.1.10.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.10.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{4}$ para o numerador.

$- 4 e^{3} - 4 (\frac{- 3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 5.1.10.1.2.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$- 4 e^{3} + 4 (- 1) \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 5.1.10.1.2.3

Cancele o fator comum.

$- 4 e^{3} + 4 \cdot - 1 \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 5.1.10.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- 4 e^{3} - - 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 5.1.10.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$- 4 e^{3} + 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 5.1.10.2

Some $3$ e $9$ .

$- 4 e^{3} + 12 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 5.2

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 - (0) d x$

Etapa 5.3

Subtraia $0$ de $4 e^{x} - 3$ .

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x$

Etapa 5.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Etapa 5.5

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Etapa 5.6

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Etapa 5.7

Aplique a regra da constante.

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Etapa 5.8

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1

Avalie $e^{x}$ em $3$ e em $\ln (\frac{3}{4})$ .

$4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Etapa 5.8.2

Avalie $- 3 x$ em $3$ e em $\ln (\frac{3}{4})$ .

$4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 5.8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.3.1

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 5.8.3.2

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 5.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 e^{3} + 4 (- \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 5.9.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{4}$ para o numerador.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 5.9.1.2.2

Cancele o fator comum.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 5.9.1.2.3

Reescreva a expressão.

$4 e^{3} - 3 - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 5.9.2

Subtraia $9$ de $- 3$ .

$4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 6

Some as áreas $\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Simplifique $3 \ln (\frac{3}{4})$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 6.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 6.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 6.1.4

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Etapa 6.1.5

Simplifique $3 \ln (\frac{3}{4})$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3})$

Etapa 6.1.6

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}})$

Etapa 6.1.7

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{4^{3}})$

Etapa 6.1.8

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64})$

Etapa 6.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64})$

Etapa 6.3

Multiplique $\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique $\frac{27}{64}$ por $\frac{27}{64}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27 \cdot 27}{64 \cdot 64})$

Etapa 6.3.2

Multiplique $27$ por $27$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{64 \cdot 64})$

Etapa 6.3.3

Multiplique $64$ por $64$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{4096})$

Etapa 6.4

Subtraia $12$ de $9$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 4 e^{3} - 3 + \ln (\frac{729}{4096})$

Etapa 7