Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{6}{8 x - 1}$ , $[4, 8]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\frac{6}{8 x - 1} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $\frac{6}{8 x - 1} = 0$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$6 = 0$

Etapa 1.2.2

Como $6 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x - \int_{4}^{8} 0 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $4$ e $8$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} - (0) d x$

Etapa 3.2

Subtraia $0$ de $\frac{6}{8 x - 1}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{6}{8 x - 1} d x$

Etapa 3.3

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int_{4}^{8} \frac{1}{8 x - 1} d x$

Etapa 3.4

Deixe $u = 8 x - 1$ . Depois, $d u = 8 d x$ , então, $\frac{1}{8} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.4.1

Deixe $u = 8 x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.4.1.1

Diferencie $8 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [8 x - 1]$

Etapa 3.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Etapa 3.4.1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.4.1.3.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.4.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 + 0$

Etapa 3.4.1.4.2

Some $8$ e $0$ .

$8$

Etapa 3.4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 8 x - 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 4 - 1$

Etapa 3.4.3

Simplifique.

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Etapa 3.4.3.1

Multiplique $8$ por $4$ .

$u_{lower} = 32 - 1$

Etapa 3.4.3.2

Subtraia $1$ de $32$ .

$u_{lower} = 31$

Etapa 3.4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 8 x - 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 8 - 1$

Etapa 3.4.5

Simplifique.

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Etapa 3.4.5.1

Multiplique $8$ por $8$ .

$u_{upper} = 64 - 1$

Etapa 3.4.5.2

Subtraia $1$ de $64$ .

$u_{upper} = 63$

Etapa 3.4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 31$

$u_{upper} = 63$

Etapa 3.4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{8}$ .

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Etapa 3.5.2

Mova $8$ para a esquerda de $u$ .

$6 \int_{31}^{63} \frac{1}{8 u} d u$

Etapa 3.6

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$6 (\frac{1}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u)$

Etapa 3.7

Simplifique.

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Etapa 3.7.1

Combine $\frac{1}{8}$ e $6$ .

$\frac{6}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Etapa 3.7.2

Cancele o fator comum de $6$ e $8$ .

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Etapa 3.7.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3)}{8} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Etapa 3.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.7.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Etapa 3.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Etapa 3.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{4} \int_{31}^{63} \frac{1}{u} d u$

Etapa 3.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{3}{4} \ln (| u |)]_{31}^{63}$

Etapa 3.9

Avalie $\ln (| u |)$ em $63$ e em $31$ .

$\frac{3}{4} (\ln (| 63 |) - \ln (| 31 |))$

Etapa 3.10

Simplifique.

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Etapa 3.10.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3}{4} \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$

Etapa 3.10.2

Combine $\frac{3}{4}$ e $\ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})$ .

$\frac{3 \ln (\frac{| 63 |}{| 31 |})}{4}$

Etapa 3.11

Simplifique.

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Etapa 3.11.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $63$ é $63$ .

$\frac{3 \ln (\frac{63}{| 31 |})}{4}$

Etapa 3.11.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $31$ é $31$ .

$\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$

Etapa 4

Some as áreas $\frac{3 \ln (\frac{63}{31})}{4}$ .

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Etapa 4.1

Simplifique $3 \ln (\frac{63}{31})$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln ({(\frac{63}{31})}^{3})}{4}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{63}{31}$ .

$\frac{\ln (\frac{63^{3}}{31^{3}})}{4}$

Etapa 4.2.2

Eleve $63$ à potência de $3$ .

$\frac{\ln (\frac{250047}{31^{3}})}{4}$

Etapa 4.2.3

Eleve $31$ à potência de $3$ .

$\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$

Etapa 4.3

Reescreva $\frac{\ln (\frac{250047}{29791})}{4}$ como $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$

Etapa 4.4

Simplifique $\frac{1}{4} \ln (\frac{250047}{29791})$ movendo $\frac{1}{4}$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(\frac{250047}{29791})}^{\frac{1}{4}})$

Etapa 4.5

Aplique a regra do produto a $\frac{250047}{29791}$ .

$\ln (\frac{250047^{\frac{1}{4}}}{29791^{\frac{1}{4}}})$

Etapa 5