Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.3.3

Combine $2$ e $\frac{3}{2}$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.3.5

Combine $\frac{6}{2}$ e $x$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.3.6

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = x^{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.3.6.2.4

Divida $3 x$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8 + 0$

Etapa 1.1.5.2

Some $x^{2} + 3 x + 8$ e $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 x + 8$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} + 3 x + 8$ .

$x^{2} + 3 x + 8$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} + 3 x + 8 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{2} + 3 x + 8 = 0$

Etapa 2.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 3$ e $c = 8$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.3

Subtraia $32$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.4

Reescreva $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.3

Subtraia $32$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.4

Reescreva $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.5.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.5.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.5.5

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{23})}{2}$

Etapa 2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (- i \sqrt{23})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{23})}{2}$

Etapa 2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.3

Subtraia $32$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.4

Reescreva $- 23$ como $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (23)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.6.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.6.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.6.5

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{23})}{2}$

Etapa 2.6.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (i \sqrt{23})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{23})}{2}$

Etapa 2.6.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 2.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado