Cálculo Exemplos

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 θ - 8 π}{\cos (2 π - θ)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 16 θ - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 16 θ - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o termo $16$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$\frac{16 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Etapa 1.2.1.3

Avalie o limite de $8 π$ , que é constante à medida que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{16 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$\frac{16 \frac{π}{2} - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.3.1.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{2 (8) \frac{π}{2} - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Etapa 1.2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 8 \frac{π}{2} - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Etapa 1.2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8 π - 8 π}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $8 π$ de $8 π$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 π - θ)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 π - θ)}$

Etapa 1.3.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 π - lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Etapa 1.3.1.3

Avalie o limite de $2 π$ , que é constante à medida que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{\cos (2 π - lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$\frac{0}{\cos (2 π - \frac{π}{2})}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0}{\cos (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})}$

Etapa 1.3.3.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})}$

Etapa 1.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{0}{\cos (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})}$

Etapa 1.3.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{4 π - π}{2})}$

Etapa 1.3.3.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{3 π}{2})}$

Etapa 1.3.3.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Etapa 1.3.3.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 θ - 8 π}{\cos (2 π - θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [16 θ - 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [16 θ - 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 θ - 8 π$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [16 θ] + \frac{d}{d θ} [- 8 π]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [16 θ] + \frac{d}{d θ} [- 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d θ} [16 θ]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $16$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $16 θ$ em relação a $θ$ é $16 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [- 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [- 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Etapa 3.3.3

Multiplique $16$ por $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 + \frac{d}{d θ} [- 8 π]}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Etapa 3.4

Como $- 8 π$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- 8 π$ em relação a $θ$ é $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16 + 0}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Etapa 3.5

Some $16$ e $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\frac{d}{d θ} [\cos (2 π - θ)]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \cos (θ)$ e $g (θ) = 2 π - θ$ .

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Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 π - θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [2 π - θ]}$

Etapa 3.6.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (u) \frac{d}{d θ} [2 π - θ]}$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 π - θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) \frac{d}{d θ} [2 π - θ]}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 π - θ$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [2 π] + \frac{d}{d θ} [- θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) (\frac{d}{d θ} [2 π] + \frac{d}{d θ} [- θ])}$

Etapa 3.8

Como $2 π$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $2 π$ em relação a $θ$ é $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) (0 + \frac{d}{d θ} [- θ])}$

Etapa 3.9

Some $0$ e $\frac{d}{d θ} [- θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) \frac{d}{d θ} [- θ]}$

Etapa 3.10

Como $- 1$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- θ$ em relação a $θ$ é $- \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{- \sin (2 π - θ) (- \frac{d}{d θ} [θ])}$

Etapa 3.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{1 \sin (2 π - θ) \frac{d}{d θ} [θ]}$

Etapa 3.12

Multiplique $\sin (2 π - θ)$ por $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\sin (2 π - θ) \frac{d}{d θ} [θ]}$

Etapa 3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\sin (2 π - θ) \cdot 1}$

Etapa 3.14

Multiplique $\sin (2 π - θ)$ por $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{16}{\sin (2 π - θ)}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o termo $16$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$16 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1}{\sin (2 π - θ)}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$16 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 π - θ)}$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$16 \frac{1}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 π - θ)}$

Etapa 4.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$16 \frac{1}{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 π - θ)}$

Etapa 4.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$16 \frac{1}{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 π - lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Etapa 4.6

Avalie o limite de $2 π$ , que é constante à medida que $θ$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$16 \frac{1}{\sin (2 π - lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Etapa 5

Avalie o limite de $θ$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $θ$ .

$16 \frac{1}{\sin (2 π - \frac{π}{2})}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Converta de $\frac{1}{\sin (2 π - \frac{π}{2})}$ em $\csc (2 π - \frac{π}{2})$ .

$16 \csc (2 π - \frac{π}{2})$

Etapa 6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$16 \csc (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 6.3

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$16 \csc (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$16 \csc (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})$

Etapa 6.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$16 \csc (\frac{4 π - π}{2})$

Etapa 6.5.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$16 \csc (\frac{3 π}{2})$

Etapa 6.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cossecante é negativa no quarto quadrante.

$16 (- \csc (\frac{π}{2}))$

Etapa 6.7

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$16 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 6.8

Multiplique $16 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 6.8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$16 \cdot - 1$

Etapa 6.8.2

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$- 16$