Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Etapa 1

Determine o limite como um valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Etapa 2

Avalie os limites substituindo o valor pela variável.

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Etapa 2.1

Avalie o limite de $\frac{\ln (x)}{\cot (x)}$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\ln (0)}{\cot (0)}$

Etapa 2.2

Reescreva $\cot (0)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

Etapa 2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$

Etapa 2.4

Como $\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$ é indefinido, o limite não existe.

$Não existe$

Etapa 3

Determine o limite como um valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Etapa 4

Avalie o valor crítico direito.

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Etapa 4.1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Etapa 4.1.1.2

À medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir do lado direito, $\ln (x)$ diminui sem limites.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Etapa 4.1.1.3

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ a partir da direita, os valores da função aumentam sem limites.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 4.1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 4.1.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Etapa 4.1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Etapa 4.1.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Etapa 4.1.3.3

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \csc^{2} (x)}$

Etapa 4.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- \csc^{2} (x)}$

Etapa 4.1.5

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{- \csc^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (- \csc^{2} (x))}$

Etapa 4.1.6

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 4.1.6.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 (- 1)}{x (- \csc^{2} (x))}$

Etapa 4.1.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

Etapa 4.2

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

Etapa 4.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$ se aproxima de $0$ .

$- 0$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0$

Etapa 5

Se um dos valores críticos unilaterais não existir, o limite não existirá.

$Não existe$