Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{e^{5 x} - 1}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Etapa 1.2.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Etapa 1.2.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Some $0$ e $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Etapa 1.2.3.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - 1}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{5 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 5 x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.3.1.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{e^{5 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 1.3.1.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{e^{5 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{e^{5 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{e^{5 x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Etapa 3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Etapa 3.6

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Etapa 3.7

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} - 1]}$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{5 x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

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Etapa 3.9.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.9.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.9.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.9.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.9.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.9.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.9.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.9.5

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{5 e^{5 x} + 0}$

Etapa 3.11

Some $5 e^{5 x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{5 e^{5 x}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{5 e^{5 x}}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{1}{5 e^{5 x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{(x + 1) (5 e^{5 x})}$

Etapa 6

Mova o termo $\frac{1}{5}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{1}{(x + 1) (e^{5 x})}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (e^{5 x})}$

Etapa 8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (e^{5 x})}$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1 \cdot lim_{x \to 0} e^{5 x}}$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{5 x}}$

Etapa 11

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{5 x}}$

Etapa 12

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} 5 x}}$

Etapa 13

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{5 lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 14

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 14.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(0 + 1) \cdot e^{5 lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 14.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{(0 + 1) \cdot e^{5 \cdot 0}}$

Etapa 15

Simplifique a resposta.

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Etapa 15.1

Combine.

$\frac{1 \cdot 1}{5 ((0 + 1) \cdot e^{5 \cdot 0})}$

Etapa 15.2

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{5 (0 + 1) \cdot e^{5 \cdot 0}}$

Etapa 15.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 15.3.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{5 (0 + 1) e^{0}}$

Etapa 15.3.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{5 \cdot 1 e^{0}}$

Etapa 15.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{5 e^{0}}$

Etapa 15.3.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{5 \cdot 1}$

Etapa 15.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{5}$