Cálculo Exemplos

$y = 2 x^{2} + 1$ , $y = 2 x + 9$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = 2 x + 9$ e $g (x) = 2 x^{2} + 1$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Reescreva ${(2 x + 9)}^{2}$ como $(2 x + 9) (2 x + 9)$ .

$V = (2 x + 9) (2 x + 9) - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2.1.2

Expanda $(2 x + 9) (2 x + 9)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V = 2 x (2 x + 9) + 9 (2 x + 9) - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x + 9) - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V = 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$V = 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$V = 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$V = 4 x^{2} + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.4

Multiplique $9$ por $2$ .

$V = 4 x^{2} + 18 x + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $9$ .

$V = 4 x^{2} + 18 x + 18 x + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2.1.3.1.6

Multiplique $9$ por $9$ .

$V = 4 x^{2} + 18 x + 18 x + 81 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2.1.3.2

Some $18 x$ e $18 x$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 2.1.4

Reescreva ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ como $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - ((2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1))$

Etapa 2.1.5

Expanda $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 x^{2} (2 x^{2} + 1) + 1 (2 x^{2} + 1))$

Etapa 2.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2} + 1))$

Etapa 2.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Etapa 2.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Etapa 2.1.6.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.6.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Etapa 2.1.6.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Etapa 2.1.6.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Etapa 2.1.6.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Etapa 2.1.6.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Etapa 2.1.6.1.5

Multiplique $2 x^{2}$ por $1$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 \cdot 1)$

Etapa 2.1.6.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1)$

Etapa 2.1.6.2

Some $2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 4 x^{2} + 1)$

Etapa 2.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4}) - (4 x^{2}) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.1.8

Simplifique.

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Etapa 2.1.8.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - 4 x^{4} - (4 x^{2}) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.1.8.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - 4 x^{4} - 4 x^{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 2.1.8.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - 4 x^{4} - 4 x^{2} - 1$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.2.1

Combine os termos opostos em $4 x^{2} + 36 x + 81 - 4 x^{4} - 4 x^{2} - 1$ .

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Etapa 2.2.1.1

Subtraia $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$V = 36 x + 81 - 4 x^{4} + 0 - 1$

Etapa 2.2.1.2

Some $36 x + 81 - 4 x^{4}$ e $0$ .

$V = 36 x + 81 - 4 x^{4} - 1$

Etapa 2.2.2

Subtraia $1$ de $81$ .

$V = 36 x - 4 x^{4} + 80$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 36 x d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} - 4 x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Etapa 4

Como $36$ é constante com relação a $x$ , mova $36$ para fora da integral.

$V = π (36 \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} x d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} - 4 x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (36 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} - 4 x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} - 4 x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Etapa 7

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) - 4 \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) - 4 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) - 4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) - 4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + 80 x]_{- 1.56155281}^{2.56155281})$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $2.56155281$ e em $- 1.56155281$ .

$V = π (36 ((\frac{{2.56155281}^{2}}{2}) - \frac{{(- 1.56155281)}^{2}}{2}) - 4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + 80 x]_{- 1.56155281}^{2.56155281})$

Etapa 11.2

Avalie $\frac{x^{5}}{5}$ em $2.56155281$ e em $- 1.56155281$ .

$V = π (36 (\frac{{2.56155281}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.56155281)}^{2}}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 x]_{- 1.56155281}^{2.56155281})$

Etapa 11.3

Avalie $80 x$ em $2.56155281$ e em $- 1.56155281$ .

$V = π (36 (\frac{{2.56155281}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.56155281)}^{2}}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4

Simplifique.

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Etapa 11.4.1

Eleve $2.56155281$ à potência de $2$ .

$V = π (36 (\frac{6.56155281}{2} - \frac{{(- 1.56155281)}^{2}}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.2

Eleve $- 1.56155281$ à potência de $2$ .

$V = π (36 (\frac{6.56155281}{2} - \frac{2.43844718}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (36 (\frac{6.56155281 - 2.43844718}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.4

Subtraia $2.43844718$ de $6.56155281$ .

$V = π (36 (\frac{4.12310562}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.5

Combine $36$ e $\frac{4.12310562}{2}$ .

$V = π (\frac{36 \cdot 4.12310562}{2} - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.6

Multiplique $36$ por $4.12310562$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.7

Eleve $2.56155281$ à potência de $5$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.8

Eleve $- 1.56155281$ à potência de $5$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} - \frac{- 9.28503157}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} + \frac{9.28503157}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} + 1 (\frac{9.28503157}{5})) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.11

Multiplique $\frac{9.28503157}{5}$ por $1$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} + \frac{9.28503157}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 \frac{110.28503157 + 9.28503157}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.13

Some $110.28503157$ e $9.28503157$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{119.57006314}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.14

Combine $- 4$ e $\frac{119.57006314}{5}$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} + \frac{- 4 \cdot 119.57006314}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.15

Multiplique $- 4$ por $119.57006314$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} + \frac{- 478.28025257}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - \frac{478.28025257}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.17

Para escrever $\frac{148.43180252}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{478.28025257}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.18

Para escrever $- \frac{478.28025257}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{478.28025257}{5} \cdot \frac{2}{2} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.19

Escreva cada expressão com um denominador comum de $10$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 11.4.19.1

Multiplique $\frac{148.43180252}{2}$ por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{478.28025257}{5} \cdot \frac{2}{2} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.19.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5}{10} - \frac{478.28025257}{5} \cdot \frac{2}{2} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.19.3

Multiplique $\frac{478.28025257}{5}$ por $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5}{10} - \frac{478.28025257 \cdot 2}{5 \cdot 2} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.19.4

Multiplique $5$ por $2$ .

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5}{10} - \frac{478.28025257 \cdot 2}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5 - 478.28025257 \cdot 2}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.21

Multiplique $148.43180252$ por $5$ .

$V = π (\frac{742.15901261 - 478.28025257 \cdot 2}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.22

Multiplique $- 478.28025257$ por $2$ .

$V = π (\frac{742.15901261 - 956.56050514}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.23

Subtraia $956.56050514$ de $742.15901261$ .

$V = π (\frac{- 214.40149253}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.24

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.25

Multiplique $80$ por $2.56155281$ .

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 204.92422502 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Etapa 11.4.26

Multiplique $- 80$ por $- 1.56155281$ .

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 204.92422502 + 124.92422502)$

Etapa 11.4.27

Some $204.92422502$ e $124.92422502$ .

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 329.84845004)$

Etapa 11.4.28

Para escrever $329.84845004$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{10}{10}$ .

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 329.84845004 \cdot \frac{10}{10})$

Etapa 11.4.29

Combine $329.84845004$ e $\frac{10}{10}$ .

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + \frac{329.84845004 \cdot 10}{10})$

Etapa 11.4.30

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{- 214.40149253 + 329.84845004 \cdot 10}{10})$

Etapa 11.4.31

Multiplique $329.84845004$ por $10$ .

$V = π (\frac{- 214.40149253 + 3298.48450049}{10})$

Etapa 11.4.32

Some $- 214.40149253$ e $3298.48450049$ .

$V = π (\frac{3084.08300796}{10})$

Etapa 11.4.33

Combine $π$ e $\frac{3084.08300796}{10}$ .

$V = \frac{π \cdot 3084.08300796}{10}$

Etapa 11.4.34

Multiplique $π$ por $3084.08300796$ .

$V = \frac{9688.93252087}{10}$

Etapa 12

Divida $9688.93252087$ por $10$ .

$V = 968.89325208$

Etapa 13