Cálculo Exemplos

$y = - x^{2} + 4$ , $y = 0$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 2}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = - x^{2} + 4$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(- x^{2} + 4)}^{2}$ como $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ .

$V = (- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$

Etapa 2.2

Expanda $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - x^{2} (- x^{2} + 4) + 4 (- x^{2} + 4)$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2} + 4)$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$V = x^{4} - 4 x^{2} + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$V = x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 4 \cdot 4$

Etapa 2.3.1.7

Multiplique $4$ por $4$ .

$V = x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16$

Etapa 2.3.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$V = x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{- 2}^{2} x^{4} d x + \int_{- 2}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Etapa 6

Como $- 8$ é constante com relação a $x$ , mova $- 8$ para fora da integral.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} - 8 \int_{- 2}^{2} x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + 16 x]_{- 2}^{2})$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2}$ e $16 x]_{- 2}^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + 16 x]_{- 2}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}))$

Etapa 10.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.2.1

Avalie $\frac{x^{5}}{5} + 16 x$ em $2$ e em $- 2$ .

$V = π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}))$

Etapa 10.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $2$ e em $- 2$ .

$V = π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3

Simplifique.

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Etapa 10.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$V = π (\frac{32}{5} + 16 \cdot 2 - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.2

Multiplique $16$ por $2$ .

$V = π (\frac{32}{5} + 32 - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.3

Para escrever $32$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{32}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.4

Combine $32$ e $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{32}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{32 + 32 \cdot 5}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.3.6.1

Multiplique $32$ por $5$ .

$V = π (\frac{32 + 160}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.6.2

Some $32$ e $160$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.7

Eleve $- 2$ à potência de $5$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (\frac{- 32}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (\frac{192}{5} - (- \frac{32}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.9

Multiplique $16$ por $- 2$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (- \frac{32}{5} - 32) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.10

Para escrever $- 32$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (- \frac{32}{5} - 32 \cdot \frac{5}{5}) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.11

Combine $- 32$ e $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (- \frac{32}{5} + \frac{- 32 \cdot 5}{5}) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{192}{5} - \frac{- 32 - 32 \cdot 5}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.3.13.1

Multiplique $- 32$ por $5$ .

$V = π (\frac{192}{5} - \frac{- 32 - 160}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.13.2

Subtraia $160$ de $- 32$ .

$V = π (\frac{192}{5} - \frac{- 192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (\frac{192}{5} + \frac{192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.15

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (\frac{192}{5} + 1 (\frac{192}{5}) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.16

Multiplique $\frac{192}{5}$ por $1$ .

$V = π (\frac{192}{5} + \frac{192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{192 + 192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.18

Some $192$ e $192$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.19

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.20

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}))$

Etapa 10.2.3.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}))$

Etapa 10.2.3.22

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})))$

Etapa 10.2.3.23

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $1$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}))$

Etapa 10.2.3.24

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{384}{5} - 8 \frac{8 + 8}{3})$

Etapa 10.2.3.25

Some $8$ e $8$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{16}{3}))$

Etapa 10.2.3.26

Combine $- 8$ e $\frac{16}{3}$ .

$V = π (\frac{384}{5} + \frac{- 8 \cdot 16}{3})$

Etapa 10.2.3.27

Multiplique $- 8$ por $16$ .

$V = π (\frac{384}{5} + \frac{- 128}{3})$

Etapa 10.2.3.28

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (\frac{384}{5} - \frac{128}{3})$

Etapa 10.2.3.29

Para escrever $\frac{384}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{384}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3})$

Etapa 10.2.3.30

Para escrever $- \frac{128}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{384}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Etapa 10.2.3.31

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 10.2.3.31.1

Multiplique $\frac{384}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{384 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{128}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Etapa 10.2.3.31.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$V = π (\frac{384 \cdot 3}{15} - \frac{128}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Etapa 10.2.3.31.3

Multiplique $\frac{128}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{384 \cdot 3}{15} - \frac{128 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Etapa 10.2.3.31.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$V = π (\frac{384 \cdot 3}{15} - \frac{128 \cdot 5}{15})$

Etapa 10.2.3.32

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{384 \cdot 3 - 128 \cdot 5}{15})$

Etapa 10.2.3.33

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.3.33.1

Multiplique $384$ por $3$ .

$V = π (\frac{1152 - 128 \cdot 5}{15})$

Etapa 10.2.3.33.2

Multiplique $- 128$ por $5$ .

$V = π (\frac{1152 - 640}{15})$

Etapa 10.2.3.33.3

Subtraia $640$ de $1152$ .

$V = π (\frac{512}{15})$

Etapa 10.2.3.34

Combine $π$ e $\frac{512}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 512}{15}$

Etapa 10.2.3.35

Mova $512$ para a esquerda de $π$ .

$V = \frac{512 π}{15}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{512 π}{15}$

Forma decimal:

$V = 107.23302924 \dots$

Etapa 12