Cálculo Exemplos

$y = (6 x - 5) \sqrt{8 x - 3}$ ; $x = 1$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{8 x - 3}$ como ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(6 x - 5) {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 6 x - 5$ e $g (x) = {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(6 x - 5) \frac{d}{d x} [{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 8 x - 3$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 x - 3$ .

$(6 x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 x - 3$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(6 x - 5) (\frac{1}{2} {(8 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(8 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$(6 x - 5) (\frac{{(8 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 8.3

Mova ${(8 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(6 x - 5) (\frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x - 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 10

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 12

Multiplique $8$ por $1$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 13

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0) + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 14

Simplifique os termos.

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Etapa 14.1

Some $8$ e $0$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8 + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 14.2

Combine $8$ e $\frac{1}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$(6 x - 5) \frac{8}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 14.3

Fatore $2$ de $8$ .

$(6 x - 5) \frac{2 \cdot 4}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 15

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 15.1

Fatore $2$ de $2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(6 x - 5) \frac{2 \cdot 4}{2 ({(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 15.2

Cancele o fator comum.

$(6 x - 5) \frac{2 \cdot 4}{2 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 15.3

Reescreva a expressão.

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x - 5]$

Etapa 16

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 17

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 19

Multiplique $6$ por $1$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (6 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 20

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (6 + 0)$

Etapa 21

Simplifique a expressão.

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Etapa 21.1

Some $6$ e $0$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6$

Etapa 21.2

Mova $6$ para a esquerda de ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(6 x - 5) \frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 6 \cdot {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 22

Simplifique.

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Etapa 22.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 22.1.1

Multiplique $6 x - 5$ por $\frac{4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(6 x - 5) \cdot 4}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 22.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $6 x - 5$ .

$\frac{4 (6 x - 5)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 22.2

Para escrever $6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (6 x - 5)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 (6 x - 5) + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 22.4.1

Fatore $2$ de $4 (6 x - 5) + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 22.4.1.1

Fatore $2$ de $4 (6 x - 5)$ .

$\frac{2 (2 (6 x - 5)) + 6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.1.2

Fatore $2$ de $6 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 (6 x - 5)) + 2 (3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.1.3

Fatore $2$ de $2 (2 (6 x - 5)) + 2 (3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (2 (6 x - 5) + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 (6 x) + 2 \cdot - 5 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.3

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{2 (12 x + 2 \cdot - 5 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.4

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.5

Multiplique ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 22.4.5.1

Mova ${(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 ({(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}))}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{\frac{2}{2}})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.5.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 {(8 x - 3)}^{1})}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.6

Simplifique $3 {(8 x - 3)}^{1}$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 (8 x - 3))}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.7

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (12 x - 10 + 3 (8 x) + 3 \cdot - 3)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.8

Multiplique $8$ por $3$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 24 x + 3 \cdot - 3)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.9

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$\frac{2 (12 x - 10 + 24 x - 9)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.10

Some $12 x$ e $24 x$ .

$\frac{2 (36 x - 10 - 9)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4.11

Subtraia $9$ de $- 10$ .

$\frac{2 (36 x - 19)}{{(8 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$\frac{2 (36 (1) - 19)}{{(8 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24

Simplifique.

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Etapa 24.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 24.1.1

Multiplique $36$ por $1$ .

$\frac{2 (36 - 19)}{{(8 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.1.2

Subtraia $19$ de $36$ .

$\frac{2 \cdot 17}{{(8 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 24.2.1

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{2 \cdot 17}{{(8 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.2.2

Subtraia $3$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 17}{5^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24.3

Multiplique $2$ por $17$ .

$\frac{34}{5^{\frac{1}{2}}}$