Cálculo Exemplos

$f (x) = x e^{- 3 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 3 x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 3 x)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- 3 x)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 3 x$ .

$f' (x) = x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (- 3 x)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.3.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1$

Etapa 1.1.3.5

Multiplique $e^{- 3 x}$ por $1$ .

$f' (x) = x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Reordene os termos.

$f' (x) = - 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$

Etapa 1.1.4.2

Reordene os fatores em $- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $e^{- 3 x}$ de $- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $e^{- 3 x}$ de $- 3 x e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} (- 3 x) + e^{- 3 x} = 0$

Etapa 2.2.2

Multiplique por $1$ .

$e^{- 3 x} (- 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 1 = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $e^{- 3 x}$ de $e^{- 3 x} (- 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 1$ .

$e^{- 3 x} (- 3 x + 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

$- 3 x + 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $e^{- 3 x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $e^{- 3 x}$ como igual a $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $e^{- 3 x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

Etapa 2.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- 3 x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.5

Defina $- 3 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $- 3 x + 1$ como igual a $0$ .

$- 3 x + 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $- 3 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 3 x = - 1$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $- 3 x = - 1$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $- 3 x = - 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Etapa 2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{- 3 x} (- 3 x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = x e^{- 3 x}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{1}{3})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{2}{3}$ na expressão.

$f' (- \frac{2}{3}) = - 3 (- \frac{2}{3}) \cdot e^{- 3 (- \frac{2}{3})} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$f' (- \frac{2}{3}) = - 3 (\frac{- 2}{3}) \cdot e^{- 3 (- \frac{2}{3})} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 5.2.1.1.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f' (- \frac{2}{3}) = 3 (- 1) (\frac{- 2}{3}) \cdot e^{- 3 (- \frac{2}{3})} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 5.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{2}{3}) = 3 \cdot (- 1 (\frac{- 2}{3})) \cdot e^{- 3 (- \frac{2}{3})} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 5.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{2}{3}) = - 1 \cdot - 2 \cdot e^{- 3 (- \frac{2}{3})} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 \cdot e^{- 3 (- \frac{2}{3})} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 5.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 \cdot e^{- 3 (\frac{- 2}{3})} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 5.2.1.3.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 \cdot e^{3 (- 1) (\frac{- 2}{3})} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 5.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 \cdot e^{3 \cdot (- 1 (\frac{- 2}{3}))} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 5.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 \cdot e^{- 1 \cdot - 2} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 \cdot e^{2} + e^{- 3 (- \frac{2}{3})}$

Etapa 5.2.1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 e^{2} + e^{- 3 (\frac{- 2}{3})}$

Etapa 5.2.1.5.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 e^{2} + e^{3 (- 1) (\frac{- 2}{3})}$

Etapa 5.2.1.5.3

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 e^{2} + e^{3 \cdot (- 1 (\frac{- 2}{3}))}$

Etapa 5.2.1.5.4

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 e^{2} + e^{- 1 \cdot - 2}$

Etapa 5.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- \frac{2}{3}) = 2 e^{2} + e^{2}$

Etapa 5.2.2

Some $2 e^{2}$ e $e^{2}$ .

$f' (- \frac{2}{3}) = 3 e^{2}$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $3 e^{2}$ .

$3 e^{2}$

Etapa 5.3

Em $x = - \frac{2}{3}$ , a derivada é $3 e^{2}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, \frac{1}{3})$ .

Acréscimo em $(- \infty, \frac{1}{3})$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(\frac{1}{3}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{4}{3}$ na expressão.

$f' (\frac{4}{3}) = - 3 (\frac{4}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{4}{3})} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f' (\frac{4}{3}) = 3 (- 1) (\frac{4}{3}) \cdot e^{- 3 (\frac{4}{3})} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Etapa 6.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{4}{3}) = 3 \cdot (- 1 (\frac{4}{3})) \cdot e^{- 3 (\frac{4}{3})} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Etapa 6.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{4}{3}) = - 1 \cdot 4 \cdot e^{- 3 (\frac{4}{3})} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - 4 \cdot e^{- 3 (\frac{4}{3})} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Etapa 6.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.1.3.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - 4 \cdot e^{3 (- 1) (\frac{4}{3})} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Etapa 6.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{4}{3}) = - 4 \cdot e^{3 \cdot (- 1 (\frac{4}{3}))} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Etapa 6.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{4}{3}) = - 4 \cdot e^{- 1 \cdot 4} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - 4 \cdot e^{- 4} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Etapa 6.2.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - 4 \cdot \frac{1}{e^{4}} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Etapa 6.2.1.6

Combine $- 4$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (\frac{4}{3}) = \frac{- 4}{e^{4}} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Etapa 6.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{4}{3}) = - \frac{4}{e^{4}} + e^{- 3 (\frac{4}{3})}$

Etapa 6.2.1.8

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.1.8.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - \frac{4}{e^{4}} + e^{3 (- 1) (\frac{4}{3})}$

Etapa 6.2.1.8.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{4}{3}) = - \frac{4}{e^{4}} + e^{3 \cdot (- 1 (\frac{4}{3}))}$

Etapa 6.2.1.8.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{4}{3}) = - \frac{4}{e^{4}} + e^{- 1 \cdot 4}$

Etapa 6.2.1.9

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - \frac{4}{e^{4}} + e^{- 4}$

Etapa 6.2.1.10

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (\frac{4}{3}) = - \frac{4}{e^{4}} + \frac{1}{e^{4}}$

Etapa 6.2.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (\frac{4}{3}) = \frac{- 4 + 1}{e^{4}}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.2.2.1

Some $- 4$ e $1$ .

$f' (\frac{4}{3}) = \frac{- 3}{e^{4}}$

Etapa 6.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{4}{3}) = - \frac{3}{e^{4}}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- \frac{3}{e^{4}}$ .

$- \frac{3}{e^{4}}$

Etapa 6.3

Em $x = \frac{4}{3}$ , a derivada é $- \frac{3}{e^{4}}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(\frac{1}{3}, \infty)$ .

Decréscimo em $(\frac{1}{3}, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, \frac{1}{3})$

Decréscimo em: $(\frac{1}{3}, \infty)$

Etapa 8