Cálculo Exemplos

$f (x) = x - x^{- 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{- 1}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2}$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2}$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$1 + x^{- 2}$

Etapa 1.1.3

Reordene os termos.

$f' (x) = x^{- 2} + 1$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{- 2} + 1$ .

$x^{- 2} + 1$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{- 2} + 1 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{- 2} + 1 = 0$

Etapa 2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Etapa 2.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{x^{2}} = - 1$

Etapa 2.4

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.4.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 1$

Etapa 2.4.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 2.5

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.5.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Etapa 2.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = - x^{2}$

Etapa 2.6

Resolva a equação.

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Etapa 2.6.1

Reescreva a equação como $- x^{2} = 1$ .

$- x^{2} = 1$

Etapa 2.6.2

Divida cada termo em $- x^{2} = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.6.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.6.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.6.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.6.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Etapa 2.6.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 2.6.4

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 2.6.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.6.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 2.6.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 2.6.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Defina a base em $x^{- 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = x^{- 2} + 1$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = x - x^{- 1}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{- 2} + 1$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}} + 1$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{1} + 1$

Etapa 6.2.1.3

Divida $1$ por $1$ .

$f' (- 1) = 1 + 1$

Etapa 6.2.2

Some $1$ e $1$ .

$f' (- 1) = 2$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $2$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, 0)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = {(1)}^{- 2} + 1$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 1 + 1$

Etapa 7.2.2

Some $1$ e $1$ .

$f' (1) = 2$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 7.3

Em $x = 1$ , a derivada é $2$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Etapa 9