Cálculo Exemplos

$g (t) = t^{2} {(3 t + 9)}^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = {(3 t + 9)}^{4}$ .

$f' (t) = t^{2} \frac{d}{d t} ({(3 t + 9)}^{4}) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{4}$ e $g (t) = 3 t + 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 t + 9$ .

$f' (t) = t^{2} (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d t} (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (t) = t^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d t} (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 t + 9$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t + 9$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} (\frac{d}{d t} (3 t) + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Etapa 1.3.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} (3 \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Etapa 1.3.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Etapa 1.3.5

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9$ em relação a $t$ é $0$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} (3 + 0)) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Etapa 1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.6.1

Some $3$ e $0$ .

$f' (t) = t^{2} (4 {(3 t + 9)}^{3} \cdot 3) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (t) = t^{2} (12 {(3 t + 9)}^{3}) + {(3 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (t) = t^{2} (12 {(3 t + 9)}^{3}) + {(3 t + 9)}^{4} (2 t)$

Etapa 1.3.8

Mova $2$ para a esquerda de ${(3 t + 9)}^{4}$ .

$f' (t) = t^{2} (12 {(3 t + 9)}^{3}) + 2 \cdot ({(3 t + 9)}^{4} t)$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Fatore $t \cdot 2 {(3 t + 9)}^{3}$ de $t^{2} (12 {(3 t + 9)}^{3}) + 2 {(3 t + 9)}^{4} t$ .

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Etapa 1.4.1.1

Fatore $t \cdot 2 {(3 t + 9)}^{3}$ de $t^{2} (12 {(3 t + 9)}^{3})$ .

$f' (t) = t \cdot (2 {(3 t + 9)}^{3} (t \cdot (6))) + 2 {(3 t + 9)}^{4} t$

Etapa 1.4.1.2

Fatore $t \cdot 2 {(3 t + 9)}^{3}$ de $2 {(3 t + 9)}^{4} t$ .

$f' (t) = t \cdot (2 {(3 t + 9)}^{3} (t \cdot (6))) + t \cdot (2 {(3 t + 9)}^{3} (3 t + 9))$

Etapa 1.4.1.3

Fatore $t \cdot 2 {(3 t + 9)}^{3}$ de $t \cdot 2 {(3 t + 9)}^{3} (t \cdot (6)) + t \cdot 2 {(3 t + 9)}^{3} (3 t + 9)$ .

$f' (t) = t \cdot (2 {(3 t + 9)}^{3} (t \cdot (6) + 3 t + 9))$

Etapa 1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $t$ .

$f' (t) = 2 \cdot (t {(3 t + 9)}^{3} (t \cdot (6) + 3 t + 9))$

Etapa 1.4.2.2

Mova $6$ para a esquerda de $t$ .

$f' (t) = 2 t {(3 t + 9)}^{3} (6 \cdot t + 3 t + 9)$

Etapa 1.4.2.3

Some $6 t$ e $3 t$ .

$f' (t) = 2 t {(3 t + 9)}^{3} (9 t + 9)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t {(3 t + 9)}^{3} (9 t + 9)$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t {(3 t + 9)}^{3} (9 t + 9)]$ .

$f'' (t) = 2 \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3} (9 t + 9))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t {(3 t + 9)}^{3}$ e $g (t) = 9 t + 9$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (9 t + 9) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 t + 9$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [9 t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} (\frac{d}{d t} (9 t) + \frac{d}{d t} (9)) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.3.2

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9 t$ em relação a $t$ é $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} (9 \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (9)) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} (9)) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.3.4

Multiplique $9$ por $1$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} (9 + \frac{d}{d t} (9)) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.3.5

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9$ em relação a $t$ é $0$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} (9 + 0) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.6.1

Some $9$ e $0$ .

$f'' (t) = 2 (t {(3 t + 9)}^{3} \cdot 9 + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.3.6.2

Mova $9$ para a esquerda de $t {(3 t + 9)}^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (t {(3 t + 9)}^{3}) + (9 t + 9) \frac{d}{d t} (t {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = {(3 t + 9)}^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t \frac{d}{d t} ({(3 t + 9)}^{3}) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = 3 t + 9$ .

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Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 t + 9$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d t} (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 t + 9$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} \frac{d}{d t} (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Etapa 2.6

Diferencie.

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Etapa 2.6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t + 9$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} (\frac{d}{d t} (3 t) + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Etapa 2.6.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} (3 \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Etapa 2.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Etapa 2.6.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} (3 + \frac{d}{d t} (9))) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Etapa 2.6.5

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9$ em relação a $t$ é $0$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} (3 + 0)) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Etapa 2.6.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.6.1

Some $3$ e $0$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (3 {(3 t + 9)}^{2} \cdot 3) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Etapa 2.6.6.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} (t)))$

Etapa 2.6.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3} \cdot 1))$

Etapa 2.6.8

Multiplique ${(3 t + 9)}^{3}$ por $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7

Simplifique.

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Etapa 2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3}) + 2 ((9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.2

Multiplique $9$ por $2$ .

$f'' (t) = 18 (t {(3 t + 9)}^{3}) + 2 ((9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.3

Fatore $2$ de $18 t {(3 t + 9)}^{3} + 2 (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.1

Fatore $2$ de $18 t {(3 t + 9)}^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3}) + 2 (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3})$

Etapa 2.7.3.2

Fatore $2$ de $2 (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3})$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3}) + 2 ((9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.3.3

Fatore $2$ de $2 (9 t {(3 t + 9)}^{3}) + 2 ((9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$ .

$f'' (t) = 2 (9 t {(3 t + 9)}^{3} + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.4.1

Use o teorema binomial.

$f'' (t) = 2 (9 t ({(3 t)}^{3} + 3 {(3 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.2.1

Aplique a regra do produto a $3 t$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (3^{3} t^{3} + 3 {(3 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.2.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 3 {(3 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.2.3

Aplique a regra do produto a $3 t$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 3 (3^{2} t^{2}) \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.2.4

Multiplique $3$ por $3^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.2.4.1

Mova $3^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 3^{2} \cdot (3 t^{2}) \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.2.4.2

Multiplique $3^{2}$ por $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.2.4.2.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 3^{2} \cdot (3 t^{2}) \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 3^{2 + 1} t^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.2.4.3

Some $2$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 3^{3} t^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.2.5

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 27 t^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.2.6

Multiplique $9$ por $27$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.2.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 9 t \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.2.8

Multiplique $9$ por $9^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.2.8.1

Mova $9^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{2} \cdot (9 t) + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.2.8.2

Multiplique $9^{2}$ por $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.2.8.2.1

Eleve $9$ à potência de $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{2} \cdot (9 t) + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.2.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{2 + 1} t + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.2.8.3

Some $2$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{3} t + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.2.9

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 729 t + 9^{3}) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.2.10

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3} + 243 t^{2} + 729 t + 729) + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (t) = 2 (9 t (27 t^{3}) + 9 t (243 t^{2}) + 9 t (729 t) + 9 t \cdot 729 + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 t \cdot t^{3}) + 9 t (243 t^{2}) + 9 t (729 t) + 9 t \cdot 729 + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 t \cdot t^{3}) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 t (729 t) + 9 t \cdot 729 + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.4.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 t \cdot t^{3}) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 9 t \cdot 729 + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.4.4

Multiplique $729$ por $9$ .

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 t \cdot t^{3}) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.5.1

Multiplique $t$ por $t^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.5.1.1

Mova $t^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 (t^{3} t)) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.5.1.2

Multiplique $t^{3}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.5.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 (t^{3} t)) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.5.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 t^{3 + 1}) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.5.1.3

Some $3$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (9 \cdot (27 t^{4}) + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.5.2

Multiplique $9$ por $27$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 9 \cdot (243 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.5.3

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.5.3.1

Mova $t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 9 \cdot (243 (t^{2} t)) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.5.3.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.5.3.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 9 \cdot (243 (t^{2} t)) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.5.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 9 \cdot (243 t^{2 + 1}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.5.3.3

Some $2$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 9 \cdot (243 t^{3}) + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.5.4

Multiplique $9$ por $243$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 9 \cdot (729 t \cdot t) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.5.5

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.5.5.1

Mova $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 9 \cdot (729 (t \cdot t)) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.5.5.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 9 \cdot (729 t^{2}) + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.5.6

Multiplique $9$ por $729$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (t (9 {(3 t + 9)}^{2}) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.6.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t {(3 t + 9)}^{2} + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.2

Reescreva ${(3 t + 9)}^{2}$ como $(3 t + 9) (3 t + 9)$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t ((3 t + 9) (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.3

Expanda $(3 t + 9) (3 t + 9)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.6.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (3 t (3 t + 9) + 9 (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 9 + 9 (3 t + 9)) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 9 + 9 (3 t) + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.6.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.6.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (3 \cdot (3 t \cdot t) + 3 t \cdot 9 + 9 (3 t) + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.4.1.2

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.6.4.1.2.1

Mova $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (3 \cdot (3 (t \cdot t)) + 3 t \cdot 9 + 9 (3 t) + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.4.1.2.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (3 \cdot (3 t^{2}) + 3 t \cdot 9 + 9 (3 t) + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.4.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (9 t^{2} + 3 t \cdot 9 + 9 (3 t) + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.4.1.4

Multiplique $9$ por $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (9 t^{2} + 27 t + 9 (3 t) + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.4.1.5

Multiplique $3$ por $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (9 t^{2} + 27 t + 27 t + 9 \cdot 9) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.4.1.6

Multiplique $9$ por $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (9 t^{2} + 27 t + 27 t + 81) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.4.2

Some $27 t$ e $27 t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (9 t^{2} + 54 t + 81) + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 t (9 t^{2}) + 9 t (54 t) + 9 t \cdot 81 + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.6.6.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 t \cdot t^{2}) + 9 t (54 t) + 9 t \cdot 81 + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 9 t \cdot 81 + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.6.3

Multiplique $81$ por $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 t \cdot t^{2}) + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.6.7.1

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.6.7.1.1

Mova $t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 (t^{2} t)) + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.7.1.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.6.7.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 (t^{2} t)) + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.7.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 t^{2 + 1}) + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.7.1.3

Some $2$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (9 \cdot (9 t^{3}) + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.7.2

Multiplique $9$ por $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 9 \cdot (54 t \cdot t) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.7.3

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.6.7.3.1

Mova $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 9 \cdot (54 (t \cdot t)) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.7.3.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 9 \cdot (54 t^{2}) + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.7.4

Multiplique $9$ por $54$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + {(3 t + 9)}^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.8

Use o teorema binomial.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + {(3 t)}^{3} + 3 {(3 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.6.9.1

Aplique a regra do produto a $3 t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 3^{3} t^{3} + 3 {(3 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.9.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 3 {(3 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.9.3

Aplique a regra do produto a $3 t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 3 (3^{2} t^{2}) \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.9.4

Multiplique $3$ por $3^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.6.9.4.1

Mova $3^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 3^{2} \cdot (3 t^{2}) \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.9.4.2

Multiplique $3^{2}$ por $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.6.9.4.2.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 3^{2} \cdot (3 t^{2}) \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.9.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 3^{2 + 1} t^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.9.4.3

Some $2$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 3^{3} t^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.9.5

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 27 t^{2} \cdot 9 + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.9.6

Multiplique $9$ por $27$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 3 (3 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.9.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 9 t \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.9.8

Multiplique $9$ por $9^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.6.9.8.1

Mova $9^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{2} \cdot (9 t) + 9^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.9.8.2

Multiplique $9^{2}$ por $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.6.9.8.2.1

Eleve $9$ à potência de $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{2} \cdot (9 t) + 9^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.9.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{2 + 1} t + 9^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.9.8.3

Some $2$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 9^{3} t + 9^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.9.9

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 729 t + 9^{3}))$

Etapa 2.7.4.6.9.10

Eleve $9$ à potência de $3$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (81 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 27 t^{3} + 243 t^{2} + 729 t + 729))$

Etapa 2.7.4.7

Some $81 t^{3}$ e $27 t^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (108 t^{3} + 486 t^{2} + 729 t + 243 t^{2} + 729 t + 729))$

Etapa 2.7.4.8

Some $486 t^{2}$ e $243 t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (108 t^{3} + 729 t^{2} + 729 t + 729 t + 729))$

Etapa 2.7.4.9

Some $729 t$ e $729 t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + (9 t + 9) (108 t^{3} + 729 t^{2} + 1458 t + 729))$

Etapa 2.7.4.10

Expanda $(9 t + 9) (108 t^{3} + 729 t^{2} + 1458 t + 729)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 9 t (108 t^{3}) + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.11.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 9 \cdot (108 t \cdot t^{3}) + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.2

Multiplique $t$ por $t^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.11.2.1

Mova $t^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 9 \cdot (108 (t^{3} t)) + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.2.2

Multiplique $t^{3}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.11.2.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 9 \cdot (108 (t^{3} t)) + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 9 \cdot (108 t^{3 + 1}) + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.2.3

Some $3$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 9 \cdot (108 t^{4}) + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.3

Multiplique $9$ por $108$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 9 t (729 t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 9 \cdot (729 t \cdot t^{2}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.5

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.11.5.1

Mova $t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 9 \cdot (729 (t^{2} t)) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.5.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.11.5.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 9 \cdot (729 (t^{2} t)) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 9 \cdot (729 t^{2 + 1}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.5.3

Some $2$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 9 \cdot (729 t^{3}) + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.6

Multiplique $9$ por $729$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 9 t (1458 t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 9 \cdot (1458 t \cdot t) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.8

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.4.11.8.1

Mova $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 9 \cdot (1458 (t \cdot t)) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.8.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 9 \cdot (1458 t^{2}) + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.9

Multiplique $9$ por $1458$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 13122 t^{2} + 9 t \cdot 729 + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.10

Multiplique $729$ por $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 13122 t^{2} + 6561 t + 9 (108 t^{3}) + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.11

Multiplique $108$ por $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 13122 t^{2} + 6561 t + 972 t^{3} + 9 (729 t^{2}) + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.12

Multiplique $729$ por $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 13122 t^{2} + 6561 t + 972 t^{3} + 6561 t^{2} + 9 (1458 t) + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.13

Multiplique $1458$ por $9$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 13122 t^{2} + 6561 t + 972 t^{3} + 6561 t^{2} + 13122 t + 9 \cdot 729)$

Etapa 2.7.4.11.14

Multiplique $9$ por $729$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 6561 t^{3} + 13122 t^{2} + 6561 t + 972 t^{3} + 6561 t^{2} + 13122 t + 6561)$

Etapa 2.7.4.12

Some $6561 t^{3}$ e $972 t^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 7533 t^{3} + 13122 t^{2} + 6561 t + 6561 t^{2} + 13122 t + 6561)$

Etapa 2.7.4.13

Some $13122 t^{2}$ e $6561 t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 7533 t^{3} + 19683 t^{2} + 6561 t + 13122 t + 6561)$

Etapa 2.7.4.14

Some $6561 t$ e $13122 t$ .

$f'' (t) = 2 (243 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 972 t^{4} + 7533 t^{3} + 19683 t^{2} + 19683 t + 6561)$

Etapa 2.7.5

Some $243 t^{4}$ e $972 t^{4}$ .

$f'' (t) = 2 (1215 t^{4} + 2187 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 7533 t^{3} + 19683 t^{2} + 19683 t + 6561)$

Etapa 2.7.6

Some $2187 t^{3}$ e $7533 t^{3}$ .

$f'' (t) = 2 (1215 t^{4} + 9720 t^{3} + 6561 t^{2} + 6561 t + 19683 t^{2} + 19683 t + 6561)$

Etapa 2.7.7

Some $6561 t^{2}$ e $19683 t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (1215 t^{4} + 9720 t^{3} + 26244 t^{2} + 6561 t + 19683 t + 6561)$

Etapa 2.7.8

Some $6561 t$ e $19683 t$ .

$f'' (t) = 2 (1215 t^{4} + 9720 t^{3} + 26244 t^{2} + 26244 t + 6561)$

Etapa 2.7.9

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (t) = 2 (1215 t^{4}) + 2 (9720 t^{3}) + 2 (26244 t^{2}) + 2 (26244 t) + 2 \cdot 6561$

Etapa 2.7.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.10.1

Multiplique $1215$ por $2$ .

$f'' (t) = 2430 t^{4} + 2 (9720 t^{3}) + 2 (26244 t^{2}) + 2 (26244 t) + 2 \cdot 6561$

Etapa 2.7.10.2

Multiplique $9720$ por $2$ .

$f'' (t) = 2430 t^{4} + 19440 t^{3} + 2 (26244 t^{2}) + 2 (26244 t) + 2 \cdot 6561$

Etapa 2.7.10.3

Multiplique $26244$ por $2$ .

$f'' (t) = 2430 t^{4} + 19440 t^{3} + 52488 t^{2} + 2 (26244 t) + 2 \cdot 6561$

Etapa 2.7.10.4

Multiplique $26244$ por $2$ .

$f'' (t) = 2430 t^{4} + 19440 t^{3} + 52488 t^{2} + 52488 t + 2 \cdot 6561$

Etapa 2.7.10.5

Multiplique $2$ por $6561$ .

$f'' (t) = 2430 t^{4} + 19440 t^{3} + 52488 t^{2} + 52488 t + 13122$

Etapa 3

A segunda derivada de $g (t)$ com relação a $t$ é $2430 t^{4} + 19440 t^{3} + 52488 t^{2} + 52488 t + 13122$ .

$2430 t^{4} + 19440 t^{3} + 52488 t^{2} + 52488 t + 13122$