Cálculo Exemplos

$f (x) = - 2 x e^{- x^{2} + 1}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int - 2 x e^{- x^{2} + 1} d x$

Etapa 3

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$- 2 \int x e^{- x^{2} + 1} d x$

Etapa 4

Deixe $u = - x^{2} + 1$ . Depois, $d u = - 2 x d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = - x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $- x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} + 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 2 x + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $- 2 x$ e $0$ .

$- 2 x$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- 2 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 2 \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 5.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 2 (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 7

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int e^{u} d u$

Etapa 9.3

Multiplique $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$\int e^{u} d u$

Etapa 10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2} + 1$ .

$e^{- x^{2} + 1} + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = - 2 x e^{- x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $e^{- x^{2} + 1} + C$