Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}} d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2}) - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}} d x$

Etapa 3.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- x^{3}$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- x) + 6 x^{2}}{x^{4}} d x$

Etapa 3.1.3

Fatore $x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- x) + x^{2} \cdot 6}{x^{4}} d x$

Etapa 3.1.4

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- x)$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x) + x^{2} \cdot 6}{x^{4}} d x$

Etapa 3.1.5

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (3 x^{2} - x) + x^{2} \cdot 6$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x + 6)}{x^{4}} d x$

Etapa 3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x + 6)}{x^{2} x^{2}} d x$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{x^{2} (3 x^{2} - x + 6)}{x^{2} x^{2}} d x$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{3 x^{2} - x + 6}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (3 x^{2} - x + 6) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{2} - x + 6) x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int (3 x^{2} - x + 6) x^{- 2} d x$

Etapa 5

Expanda $(3 x^{2} - x + 6) x^{- 2}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (3 x^{2} - x) x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 3 x^{2} x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Etapa 5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 3 x^{2 - 2} - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Etapa 5.4

Subtraia $2$ de $2$ .

$\int 3 x^{0} - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Etapa 5.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\int 3 \cdot 1 - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Etapa 5.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$\int 3 - x \cdot x^{- 2} + 6 x^{- 2} d x$

Etapa 5.7

Fatore o negativo.

$\int 3 - (x \cdot x^{- 2}) + 6 x^{- 2} d x$

Etapa 5.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int 3 - (x^{1} x^{- 2}) + 6 x^{- 2} d x$

Etapa 5.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 3 - x^{1 - 2} + 6 x^{- 2} d x$

Etapa 5.10

Subtraia $2$ de $1$ .

$\int 3 - x^{- 1} + 6 x^{- 2} d x$

Etapa 5.11

Reordene $3$ e $- x^{- 1}$ .

$\int - x^{- 1} + 3 + 6 x^{- 2} d x$

Etapa 5.12

Mova $3$ .

$\int - x^{- 1} + 6 x^{- 2} + 3 d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int x^{- 1} d x + \int 6 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Etapa 8

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |) + C) + \int 6 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Etapa 9

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$- (\ln (| x |) + C) + 6 \int x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$- (\ln (| x |) + C) + 6 (- x^{- 1} + C) + \int 3 d x$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$- (\ln (| x |) + C) + 6 (- x^{- 1} + C) + 3 x + C$

Etapa 12

Simplifique.

$- \ln (| x |) - \frac{6}{x} + 3 x + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| x |) - \frac{6}{x} + 3 x + C$