Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ , $[0, 3]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = x^{3} + 5 x^{2}$ é contínua.

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Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 3]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 5 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

Etapa 3.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (5 x^{2})$

Etapa 3.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Etapa 3.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 5 (2 x)$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} + 10 x$ .

$3 x^{2} + 10 x$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(0, 3)$ .

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Etapa 4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(0, 3)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(0, 3)$ , porque a derivada é contínua em $(0, 3)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[0, 3]$ e diferenciável em $(0, 3)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[0, 3]$ e diferenciável em $(0, 3)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[0, 3]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{2}$

Etapa 7.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 7.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 8

Avalie $f (b)$ a partir do intervalo $[0, 3]$ .

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = {(3)}^{3} + 5 {(3)}^{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = 27 + 5 {(3)}^{2}$

Etapa 8.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = 27 + 5 \cdot 9$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $5$ por $9$ .

$f (3) = 27 + 45$

Etapa 8.2.2

Some $27$ e $45$ .

$f (3) = 72$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $72$ .

$72$

Etapa 9

Resolva $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $3 x^{2} + 10 x = \frac{- (f (3) + f (0))}{- (3 + 0)}$ .

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Etapa 9.1

Simplifique $\frac{(72) - (0)}{(3) - (0)}$ .

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Etapa 9.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72 + 0}{3 - (0)}$

Etapa 9.1.1.2

Some $72$ e $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 - (0)}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3 + 0}$

Etapa 9.1.2.2

Some $3$ e $0$ .

$3 x^{2} + 10 x = \frac{72}{3}$

Etapa 9.1.3

Divida $72$ por $3$ .

$3 x^{2} + 10 x = 24$

Etapa 9.2

Subtraia $24$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} + 10 x - 24 = 0$

Etapa 9.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 9.4

Substitua os valores $a = 3$ , $b = 10$ e $c = - 24$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 24)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.5

Simplifique.

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Etapa 9.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.5.1.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

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Etapa 9.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.5.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.5.1.3

Some $100$ e $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.5.1.4

Reescreva $388$ como $2^{2} \cdot 97$ .

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Etapa 9.5.1.4.1

Fatore $4$ de $388$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

Etapa 9.5.3

Simplifique $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

Etapa 9.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 9.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.6.1.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

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Etapa 9.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.6.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.6.1.3

Some $100$ e $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.6.1.4

Reescreva $388$ como $2^{2} \cdot 97$ .

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Etapa 9.6.1.4.1

Fatore $4$ de $388$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

Etapa 9.6.3

Simplifique $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

Etapa 9.6.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{97}}{3}$

Etapa 9.6.5

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{97}}{3}$

Etapa 9.6.6

Fatore $- 1$ de $\sqrt{97}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{97})}{3}$

Etapa 9.6.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{97})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{97})}{3}$

Etapa 9.6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$

Etapa 9.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 9.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.7.1.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 24$ .

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Etapa 9.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 24}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.7.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 24$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 288}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.7.1.3

Some $100$ e $288$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{388}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.7.1.4

Reescreva $388$ como $2^{2} \cdot 97$ .

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Etapa 9.7.1.4.1

Fatore $4$ de $388$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (97)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 97}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{2 \cdot 3}$

Etapa 9.7.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$

Etapa 9.7.3

Simplifique $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{97}}{6}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{97}}{3}$

Etapa 9.7.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{97}}{3}$

Etapa 9.7.5

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{97}}{3}$

Etapa 9.7.6

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{97}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{97})}{3}$

Etapa 9.7.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (5) - (\sqrt{97})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{97})}{3}$

Etapa 9.7.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

Etapa 9.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}, - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$

Etapa 10

Existe uma reta tangente em $x = - \frac{5 - \sqrt{97}}{3}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 0$ e $b = 3$

Etapa 11

Existe uma reta tangente em $x = - \frac{5 + \sqrt{97}}{3}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 0$ e $b = 3$

Etapa 12