Cálculo Exemplos

$f (x) = x (x - 1)$ ; $[2, 5]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[2, 5]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x (x - 1) d x)$

Etapa 5

Multiplique $x (x - 1)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x \cdot x + x \cdot - 1 d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{1 + 1} + x \cdot - 1 d x)$

Etapa 6.2

Some $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} + x \cdot - 1 d x)$

Etapa 6.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} - 1 \cdot x d x)$

Etapa 6.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} - x d x)$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\int_{2}^{5} x^{2} d x + \int_{2}^{5} - x d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} + \int_{2}^{5} - x d x)$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} - \int_{2}^{5} x d x)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{5}))$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{5} - (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}))$

Etapa 11.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.2.1

Avalie $\frac{1}{3} x^{3}$ em $5$ e em $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{5}))$

Etapa 11.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $5$ e em $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3

Simplifique.

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Etapa 11.2.3.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8 - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.4

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - 8 (\frac{1}{3}) - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.5

Combine $- 8$ e $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} + \frac{- 8}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125}{3} - \frac{8}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{125 - 8}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.8

Subtraia $8$ de $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{117}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.9

Cancele o fator comum de $117$ e $3$ .

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Etapa 11.2.3.9.1

Fatore $3$ de $117$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.3.9.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 (1)} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.9.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.9.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39}{1} - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.9.2.4

Divida $39$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.10

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}))$

Etapa 11.2.3.11

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}))$

Etapa 11.2.3.12

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 11.2.3.12.1

Fatore $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}))$

Etapa 11.2.3.12.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.3.12.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}))$

Etapa 11.2.3.12.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}))$

Etapa 11.2.3.12.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}))$

Etapa 11.2.3.12.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2))$

Etapa 11.2.3.13

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - 2))$

Etapa 11.2.3.14

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}))$

Etapa 11.2.3.15

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}))$

Etapa 11.2.3.16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - \frac{25 - 2 \cdot 2}{2})$

Etapa 11.2.3.17

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.3.17.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - \frac{25 - 4}{2})$

Etapa 11.2.3.17.2

Subtraia $4$ de $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 - \frac{21}{2})$

Etapa 11.2.3.18

Para escrever $39$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (39 \cdot \frac{2}{2} - \frac{21}{2})$

Etapa 11.2.3.19

Combine $39$ e $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39 \cdot 2}{2} - \frac{21}{2})$

Etapa 11.2.3.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{39 \cdot 2 - 21}{2})$

Etapa 11.2.3.21

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.3.21.1

Multiplique $39$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{78 - 21}{2})$

Etapa 11.2.3.21.2

Subtraia $21$ de $78$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 2} (\frac{57}{2})$

Etapa 12

Subtraia $2$ de $5$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{57}{2}$

Etapa 13

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.1

Fatore $3$ de $57$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (19)}{2}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 19}{2}$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{19}{2}$

Etapa 14