Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - 8 x - 42$ , $y = - x^{2}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} - 8 x - 42 = - x^{2}$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} - 8 x - 42 = - x^{2}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Some $x^{2}$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 8 x - 42 + x^{2} = 0$

Etapa 1.2.1.2

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 8 x - 42 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 8 x - 42$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 8 x - 42 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $2$ de $- 8 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) - 42 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $2$ de $- 42$ .

$2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot - 21 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 4 x)$ .

$2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 21 = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot - 21$ .

$2 (x^{2} - 4 x - 21) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 4 x - 21$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 21$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 7, 3 + y = - x^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 ((x - 7) (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x - 7) (x + 3) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 3 = 0 + y = - x^{2}$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x - 7) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, - 3$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $7$ por $x$ .

$y = - {(7)}^{2}$

Etapa 1.3.2

Substitua $7$ por $x$ em $y = - {(7)}^{2}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 7^{2}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $- 7^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$y = - 1 \cdot 49$

Etapa 1.3.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $49$ .

$y = - 49$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$y = - {(- 3)}^{2}$

Etapa 1.4.2

Simplifique $- {(- 3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$y = - 1 \cdot 9$

Etapa 1.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$y = - 9$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(7, - 49)$

$(- 3, - 9)$

$(7, - 49)$

$(- 3, - 9)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 3}^{7} - x^{2} d x - \int_{- 3}^{7} x^{2} - 8 x - 42 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 3$ e $7$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 3}^{7} - x^{2} - (x^{2} - 8 x - 42) d x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} - x^{2} - (- 8 x) - - 42$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$- x^{2} - x^{2} + 8 x - - 42$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 42$ .

$- x^{2} - x^{2} + 8 x + 42$

$\int_{- 3}^{7} - x^{2} - x^{2} + 8 x + 42 d x$

Etapa 3.3

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\int_{- 3}^{7} - 2 x^{2} + 8 x + 42 d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 3}^{7} - 2 x^{2} d x + \int_{- 3}^{7} 8 x d x + \int_{- 3}^{7} 42 d x$

Etapa 3.5

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$- 2 \int_{- 3}^{7} x^{2} d x + \int_{- 3}^{7} 8 x d x + \int_{- 3}^{7} 42 d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{7}) + \int_{- 3}^{7} 8 x d x + \int_{- 3}^{7} 42 d x$

Etapa 3.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{7}) + \int_{- 3}^{7} 8 x d x + \int_{- 3}^{7} 42 d x$

Etapa 3.8

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{7}) + 8 \int_{- 3}^{7} x d x + \int_{- 3}^{7} 42 d x$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{7}) + 8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{7}) + \int_{- 3}^{7} 42 d x$

Etapa 3.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{7}) + 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{7}) + \int_{- 3}^{7} 42 d x$

Etapa 3.11

Aplique a regra da constante.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{7}) + 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{7}) + 42 x]_{- 3}^{7}$

Etapa 3.12

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $7$ e em $- 3$ .

$- 2 ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{7}) + 42 x]_{- 3}^{7}$

Etapa 3.12.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $7$ e em $- 3$ .

$- 2 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 8 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 42 x]_{- 3}^{7}$

Etapa 3.12.3

Avalie $42 x$ em $7$ e em $- 3$ .

$- 2 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 8 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.1

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$- 2 (\frac{343}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 8 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.2

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$- 2 (\frac{343}{3} - \frac{- 27}{3}) + 8 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.3

Cancele o fator comum de $- 27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.3.1

Fatore $3$ de $- 27$ .

$- 2 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 8 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- 2 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 8 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 8 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 (\frac{343}{3} - \frac{- 9}{1}) + 8 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.3.2.4

Divida $- 9$ por $1$ .

$- 2 (\frac{343}{3} - - 9) + 8 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.4

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$- 2 (\frac{343}{3} + 9) + 8 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.5

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- 2 (\frac{343}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) + 8 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.6

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$- 2 (\frac{343}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) + 8 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 2 \frac{343 + 9 \cdot 3}{3} + 8 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.8.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$- 2 \frac{343 + 27}{3} + 8 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.8.2

Some $343$ e $27$ .

$- 2 (\frac{370}{3}) + 8 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.9

Combine $- 2$ e $\frac{370}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 370}{3} + 8 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.10

Multiplique $- 2$ por $370$ .

$\frac{- 740}{3} + 8 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{740}{3} + 8 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.12

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$- \frac{740}{3} + 8 (\frac{49}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.13

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- \frac{740}{3} + 8 (\frac{49}{2} - \frac{9}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{740}{3} + 8 \frac{49 - 9}{2} + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.15

Subtraia $9$ de $49$ .

$- \frac{740}{3} + 8 (\frac{40}{2}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.16

Cancele o fator comum de $40$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.16.1

Fatore $2$ de $40$ .

$- \frac{740}{3} + 8 \frac{2 \cdot 20}{2} + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.16.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.16.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{740}{3} + 8 \frac{2 \cdot 20}{2 (1)} + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.16.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{740}{3} + 8 \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 1} + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.16.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{740}{3} + 8 (\frac{20}{1}) + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.16.2.4

Divida $20$ por $1$ .

$- \frac{740}{3} + 8 \cdot 20 + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.17

Multiplique $8$ por $20$ .

$- \frac{740}{3} + 160 + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.18

Para escrever $160$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{740}{3} + 160 \cdot \frac{3}{3} + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.19

Combine $160$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{740}{3} + \frac{160 \cdot 3}{3} + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 740 + 160 \cdot 3}{3} + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.21

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.21.1

Multiplique $160$ por $3$ .

$\frac{- 740 + 480}{3} + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.21.2

Some $- 740$ e $480$ .

$\frac{- 260}{3} + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.22

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{260}{3} + (42 \cdot 7) - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.23

Multiplique $42$ por $7$ .

$- \frac{260}{3} + 294 - 42 \cdot - 3$

Etapa 3.12.4.24

Multiplique $- 42$ por $- 3$ .

$- \frac{260}{3} + 294 + 126$

Etapa 3.12.4.25

Some $294$ e $126$ .

$- \frac{260}{3} + 420$

Etapa 3.12.4.26

Para escrever $420$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{260}{3} + 420 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.12.4.27

Combine $420$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{260}{3} + \frac{420 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.12.4.28

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 260 + 420 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.12.4.29

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.29.1

Multiplique $420$ por $3$ .

$\frac{- 260 + 1260}{3}$

Etapa 3.12.4.29.2

Some $- 260$ e $1260$ .

$\frac{1000}{3}$

Etapa 4