Cálculo Exemplos

$y = x^{2} - 4$ , $y = 2$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{2} - 4 = 2$

Etapa 1.2

Resolva $x^{2} - 4 = 2$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2 + 4$

Etapa 1.2.1.2

Some $2$ e $4$ .

$x^{2} = 6$

Etapa 1.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{6}$

Etapa 1.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{6}$

Etapa 1.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{6}$

Etapa 1.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Etapa 1.3

Substitua $\sqrt{6}$ por $x$ .

$y = 2$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(\sqrt{6}, 2)$

$(- \sqrt{6}, 2)$

$(\sqrt{6}, 2)$

$(- \sqrt{6}, 2)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 2 d x - \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} x^{2} - 4 d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- \sqrt{6}$ e $\sqrt{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 2 - (x^{2} - 4) d x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 - x^{2} - - 4$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$2 - x^{2} + 4$

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 2 - x^{2} + 4 d x$

Etapa 3.3

Some $2$ e $4$ .

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} - x^{2} + 6 d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}) + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

Etapa 3.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}) + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

Etapa 3.8

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}) + 6 x]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}$

Etapa 3.9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $\sqrt{6}$ e em $- \sqrt{6}$ .

$- ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 x]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}$

Etapa 3.9.1.2

Avalie $6 x$ em $\sqrt{6}$ e em $- \sqrt{6}$ .

$- (\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Etapa 3.9.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1.3.1

Reescreva ${\sqrt{6}}^{3}$ como $\sqrt{6^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{6^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Etapa 3.9.1.3.2

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Etapa 3.9.1.3.3

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{6}$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{6}))}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Etapa 3.9.1.3.4

Aplique a regra do produto a $- (\sqrt{6})$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Etapa 3.9.1.3.5

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{- {\sqrt{6}}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Etapa 3.9.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{6}}^{3}$ como $\sqrt{6^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{- \sqrt{6^{3}}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Etapa 3.9.1.3.7

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{- \sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Etapa 3.9.1.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - - \frac{\sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Etapa 3.9.1.3.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} + 1 \frac{\sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Etapa 3.9.1.3.10

Multiplique $\frac{\sqrt{216}}{3}$ por $1$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} + \frac{\sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Etapa 3.9.1.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{216} + \sqrt{216}}{3} + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Etapa 3.9.1.3.12

Some $\sqrt{216}$ e $\sqrt{216}$ .

$- \frac{2 \sqrt{216}}{3} + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Etapa 3.9.1.3.13

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$- \frac{2 \sqrt{216}}{3} + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6}$

Etapa 3.9.1.3.14

Some $6 \sqrt{6}$ e $6 \sqrt{6}$ .

$- \frac{2 \sqrt{216}}{3} + 12 \sqrt{6}$

Etapa 3.9.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1

Reescreva $216$ como $6^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.1.1

Fatore $36$ de $216$ .

$- \frac{2 \sqrt{36 (6)}}{3} + 12 \sqrt{6}$

Etapa 3.9.2.1.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{3} + 12 \sqrt{6}$

Etapa 3.9.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$- \frac{2 (6 \sqrt{6})}{3} + 12 \sqrt{6}$

Etapa 3.9.2.3

Multiplique $6$ por $2$ .

$- \frac{12 \sqrt{6}}{3} + 12 \sqrt{6}$

Etapa 3.9.2.4

Cancele o fator comum de $12$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.4.1

Fatore $3$ de $12 \sqrt{6}$ .

$- \frac{3 (4 \sqrt{6})}{3} + 12 \sqrt{6}$

Etapa 3.9.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.2.4.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- \frac{3 (4 \sqrt{6})}{3 (1)} + 12 \sqrt{6}$

Etapa 3.9.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{3 (4 \sqrt{6})}{3 \cdot 1} + 12 \sqrt{6}$

Etapa 3.9.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{4 \sqrt{6}}{1} + 12 \sqrt{6}$

Etapa 3.9.2.4.2.4

Divida $4 \sqrt{6}$ por $1$ .

$- (4 \sqrt{6}) + 12 \sqrt{6}$

Etapa 3.9.2.5

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 \sqrt{6} + 12 \sqrt{6}$

Etapa 3.9.2.6

Some $- 4 \sqrt{6}$ e $12 \sqrt{6}$ .

$8 \sqrt{6}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$8 \sqrt{6}$

Forma decimal:

$19.59591794 \dots$

Etapa 5