Cálculo Exemplos

$y = e^{x}$ , $y = - 2 x^{2} - 7 x$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$e^{x} = - 2 x^{2} - 7 x$

Etapa 1.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 3.49566195, - 0.13025761 + y = - 2 x^{2} - 7 x$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = - 3.49566195$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $- 3.49566195$ por $x$ .

$y = - 2 {(- 3.49566195)}^{2} - 7 \cdot - 3.49566195$

Etapa 1.3.2

Substitua $- 3.49566195$ por $x$ em $y = - 2 {(- 3.49566195)}^{2} - 7 \cdot - 3.49566195$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 2 {(- 3.49566195)}^{2} - 7 \cdot - 3.49566195$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $- 2 {(- 3.49566195)}^{2} - 7 \cdot - 3.49566195$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Eleve $- 3.49566195$ à potência de $2$ .

$y = - 2 \cdot 12.21965251 - 7 \cdot - 3.49566195$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $12.21965251$ .

$y = - 24.43930503 - 7 \cdot - 3.49566195$

Etapa 1.3.2.2.1.3

Multiplique $- 7$ por $- 3.49566195$ .

$y = - 24.43930503 + 24.46963369$

Etapa 1.3.2.2.2

Some $- 24.43930503$ e $24.46963369$ .

$y = 0.03032866$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 0.13025761$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $- 0.13025761$ por $x$ .

$y = - 2 {(- 0.13025761)}^{2} - 7 \cdot - 0.13025761$

Etapa 1.4.2

Substitua $- 0.13025761$ por $x$ em $y = - 2 {(- 0.13025761)}^{2} - 7 \cdot - 0.13025761$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 2 {(- 0.13025761)}^{2} - 7 \cdot - 0.13025761$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique $- 2 {(- 0.13025761)}^{2} - 7 \cdot - 0.13025761$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $- 0.13025761$ à potência de $2$ .

$y = - 2 \cdot 0.01696704 - 7 \cdot - 0.13025761$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $0.01696704$ .

$y = - 0.03393409 - 7 \cdot - 0.13025761$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Multiplique $- 7$ por $- 0.13025761$ .

$y = - 0.03393409 + 0.91180333$

Etapa 1.4.2.2.2

Some $- 0.03393409$ e $0.91180333$ .

$y = 0.87786924$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(- 3.49566195, 0.03032866)$

$(- 0.13025761, 0.87786924)$

$(- 3.49566195, 0.03032866)$

$(- 0.13025761, 0.87786924)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 2 x^{2} - 7 x d x - \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} e^{x} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 3.49566195$ e $- 0.13025761$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 2 x^{2} - 7 x - (e^{x}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $e^{x}$ .

$\int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 2 x^{2} - 7 x - e^{x} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 2 x^{2} d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 7 x d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Etapa 3.4

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$- 2 \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} x^{2} d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 7 x d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 7 x d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Etapa 3.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 7 x d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Etapa 3.7

Como $- 7$ é constante com relação a $x$ , mova $- 7$ para fora da integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - 7 \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} x d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - 7 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Etapa 3.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Etapa 3.10

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} e^{x} d x$

Etapa 3.11

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - (e^{x}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761})$

Etapa 3.12

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.12.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $- 0.13025761$ e em $- 3.49566195$ .

$- 2 ((\frac{{(- 0.13025761)}^{3}}{3}) - \frac{{(- 3.49566195)}^{3}}{3}) - 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - (e^{x}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761})$

Etapa 3.12.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $- 0.13025761$ e em $- 3.49566195$ .

$- 2 (\frac{{(- 0.13025761)}^{3}}{3} - \frac{{(- 3.49566195)}^{3}}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - (e^{x}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761})$

Etapa 3.12.3

Avalie $e^{x}$ em $- 0.13025761$ e em $- 3.49566195$ .

$- 2 (\frac{{(- 0.13025761)}^{3}}{3} - \frac{{(- 3.49566195)}^{3}}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4

Simplifique.

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Etapa 3.12.4.1

Eleve $- 0.13025761$ à potência de $3$ .

$- 2 (\frac{- 0.00221008}{3} - \frac{{(- 3.49566195)}^{3}}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 2 (- \frac{0.00221008}{3} - \frac{{(- 3.49566195)}^{3}}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.3

Eleve $- 3.49566195$ à potência de $3$ .

$- 2 (- \frac{0.00221008}{3} - \frac{- 42.71577442}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 2 (- \frac{0.00221008}{3} - - \frac{42.71577442}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 (- \frac{0.00221008}{3} + 1 (\frac{42.71577442}{3})) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.6

Multiplique $\frac{42.71577442}{3}$ por $1$ .

$- 2 (- \frac{0.00221008}{3} + \frac{42.71577442}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 2 \frac{- 0.00221008 + 42.71577442}{3} - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.8

Some $- 0.00221008$ e $42.71577442$ .

$- 2 (\frac{42.71356433}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.9

Combine $- 2$ e $\frac{42.71356433}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 42.71356433}{3} - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.10

Multiplique $- 2$ por $42.71356433$ .

$\frac{- 85.42712867}{3} - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{85.42712867}{3} - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.12

Eleve $- 0.13025761$ à potência de $2$ .

$- \frac{85.42712867}{3} - 7 (\frac{0.01696704}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.13

Eleve $- 3.49566195$ à potência de $2$ .

$- \frac{85.42712867}{3} - 7 (\frac{0.01696704}{2} - \frac{12.21965251}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{85.42712867}{3} - 7 \frac{0.01696704 - 12.21965251}{2} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.15

Subtraia $12.21965251$ de $0.01696704$ .

$- \frac{85.42712867}{3} - 7 (\frac{- 12.20268546}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{85.42712867}{3} - 7 (- \frac{12.20268546}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.17

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$- \frac{85.42712867}{3} + 7 (\frac{12.20268546}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.18

Combine $7$ e $\frac{12.20268546}{2}$ .

$- \frac{85.42712867}{3} + \frac{7 \cdot 12.20268546}{2} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.19

Multiplique $7$ por $12.20268546$ .

$- \frac{85.42712867}{3} + \frac{85.41879828}{2} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.20

Para escrever $- \frac{85.42712867}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{85.42712867}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{85.41879828}{2} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.21

Para escrever $\frac{85.41879828}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{85.42712867}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{85.41879828}{2} \cdot \frac{3}{3} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.22

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.4.22.1

Multiplique $\frac{85.42712867}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{85.42712867 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{85.41879828}{2} \cdot \frac{3}{3} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.22.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{85.42712867 \cdot 2}{6} + \frac{85.41879828}{2} \cdot \frac{3}{3} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.22.3

Multiplique $\frac{85.41879828}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{85.42712867 \cdot 2}{6} + \frac{85.41879828 \cdot 3}{2 \cdot 3} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.22.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{85.42712867 \cdot 2}{6} + \frac{85.41879828 \cdot 3}{6} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.23

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 85.42712867 \cdot 2 + 85.41879828 \cdot 3}{6} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.24

Multiplique $- 85.42712867$ por $2$ .

$\frac{- 170.85425735 + 85.41879828 \cdot 3}{6} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.25

Multiplique $85.41879828$ por $3$ .

$\frac{- 170.85425735 + 256.25639484}{6} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.26

Some $- 170.85425735$ e $256.25639484$ .

$\frac{85.40213748}{6} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Etapa 3.12.4.27

Para escrever $- (e^{- 0.13025761} - e^{- 3.49566195})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{85.40213748}{6} - (e^{- 0.13025761} - e^{- 3.49566195}) \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 3.12.4.28

Combine $- (e^{- 0.13025761} - e^{- 3.49566195})$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{85.40213748}{6} + \frac{- (e^{- 0.13025761} - e^{- 3.49566195}) \cdot 6}{6}$

Etapa 3.12.4.29

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{85.40213748 - (e^{- 0.13025761} - e^{- 3.49566195}) \cdot 6}{6}$

Etapa 3.12.4.30

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{85.40213748 - 6 (e^{- 0.13025761} - e^{- 3.49566195})}{6}$

Etapa 3.13

Simplifique.

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Etapa 3.13.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.1.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{85.40213748 - 6 (\frac{1}{e^{0.13025761}} - e^{- 3.49566195})}{6}$

Etapa 3.13.1.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{85.40213748 - 6 (\frac{1}{e^{0.13025761}} - \frac{1}{e^{3.49566195}})}{6}$

Etapa 3.13.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{85.40213748 - 6 \frac{1}{e^{0.13025761}} - 6 (- \frac{1}{e^{3.49566195}})}{6}$

Etapa 3.13.1.3

Combine $- 6$ e $\frac{1}{e^{0.13025761}}$ .

$\frac{85.40213748 + \frac{- 6}{e^{0.13025761}} - 6 (- \frac{1}{e^{3.49566195}})}{6}$

Etapa 3.13.1.4

Multiplique $- 6 (- \frac{1}{e^{3.49566195}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.13.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{85.40213748 + \frac{- 6}{e^{0.13025761}} + 6 \frac{1}{e^{3.49566195}}}{6}$

Etapa 3.13.1.4.2

Combine $6$ e $\frac{1}{e^{3.49566195}}$ .

$\frac{85.40213748 + \frac{- 6}{e^{0.13025761}} + \frac{6}{e^{3.49566195}}}{6}$

Etapa 3.13.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{85.40213748 - \frac{6}{e^{0.13025761}} + \frac{6}{e^{3.49566195}}}{6}$

Etapa 3.13.1.6

Subtraia $\frac{6}{e^{0.13025761}}$ de $85.40213748$ .

$\frac{80.13492201 + \frac{6}{e^{3.49566195}}}{6}$

Etapa 3.13.1.7

Some $80.13492201$ e $\frac{6}{e^{3.49566195}}$ .

$\frac{80.316894}{6}$

Etapa 3.13.2

Divida $80.316894$ por $6$ .

$13.386149$

Etapa 4