Cálculo Exemplos

$x = y^{2}$ , $x - y = 30$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $y^{2}$ em cada equação.

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Etapa 1.1.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $x - y = 30$ por $y^{2}$ .

$(y^{2}) - y = 30$

$x = y^{2}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Remova os parênteses.

$y^{2} - y = 30$

$x = y^{2}$

$y^{2} - y = 30$

$x = y^{2}$

$y^{2} - y = 30$

$x = y^{2}$

Etapa 1.2

Resolva $y$ em $y^{2} - y = 30$ .

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Etapa 1.2.1

Subtraia $30$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - y - 30 = 0$

$x = y^{2}$

Etapa 1.2.2

Fatore $y^{2} - y - 30$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 30$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 6, 5$

$x = y^{2}$

Etapa 1.2.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(y - 6) (y + 5) = 0$

$x = y^{2}$

$(y - 6) (y + 5) = 0$

$x = y^{2}$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y - 6 = 0$

$y + 5 = 0$

$x = y^{2}$

Etapa 1.2.4

Defina $y - 6$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $y - 6$ como igual a $0$ .

$y - 6 = 0$

$x = y^{2}$

Etapa 1.2.4.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$y = 6$

$x = y^{2}$

$y = 6$

$x = y^{2}$

Etapa 1.2.5

Defina $y + 5$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $y + 5$ como igual a $0$ .

$y + 5 = 0$

$x = y^{2}$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$y = - 5$

$x = y^{2}$

$y = - 5$

$x = y^{2}$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(y - 6) (y + 5) = 0$ verdadeiro.

$y = 6, - 5$

$x = y^{2}$

$y = 6, - 5$

$x = y^{2}$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $6$ em cada equação.

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Etapa 1.3.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = y^{2}$ por $6$ .

$x = {(6)}^{2}$

$y = 6$

Etapa 1.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$x = 36$

$y = 6$

$x = 36$

$y = 6$

$x = 36$

$y = 6$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $- 5$ em cada equação.

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Etapa 1.4.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = y^{2}$ por $- 5$ .

$x = {(- 5)}^{2}$

$y = - 5$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.4.2.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$x = 25$

$y = - 5$

$x = 25$

$y = - 5$

$x = 25$

$y = - 5$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(36, 6)$

$(25, - 5)$

$(36, 6)$

$(25, - 5)$

Etapa 2

Some $y$ aos dois lados da equação.

$x = 30 + y$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 5}^{6} 30 + y d y - \int_{- 5}^{6} y^{2} d y$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $- 5$ e $6$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 5}^{6} 30 + y - (y^{2}) d y$

Etapa 4.2

Multiplique $- 1$ por $y^{2}$ .

$\int_{- 5}^{6} 30 + y - y^{2} d y$

Etapa 4.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 5}^{6} 30 d y + \int_{- 5}^{6} y d y + \int_{- 5}^{6} - y^{2} d y$

Etapa 4.4

Aplique a regra da constante.

$30 y]_{- 5}^{6} + \int_{- 5}^{6} y d y + \int_{- 5}^{6} - y^{2} d y$

Etapa 4.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$30 y]_{- 5}^{6} + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} + \int_{- 5}^{6} - y^{2} d y$

Etapa 4.6

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$30 y]_{- 5}^{6} + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} - \int_{- 5}^{6} y^{2} d y$

Etapa 4.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$30 y]_{- 5}^{6} + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 5}^{6})$

Etapa 4.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.8.1

Simplifique.

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Etapa 4.8.1.1

Combine $30 y]_{- 5}^{6}$ e $\frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6}$ .

$30 y + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 5}^{6})$

Etapa 4.8.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$30 y + \frac{1}{2} y^{2}]_{- 5}^{6} - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 5}^{6})$

Etapa 4.8.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.8.2.1

Avalie $30 y + \frac{1}{2} y^{2}$ em $6$ e em $- 5$ .

$(30 \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 5}^{6})$

Etapa 4.8.2.2

Avalie $\frac{y^{3}}{3}$ em $6$ e em $- 5$ .

$(30 \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3

Simplifique.

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Etapa 4.8.2.3.1

Multiplique $30$ por $6$ .

$180 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$180 + \frac{1}{2} \cdot 36 - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $36$ .

$180 + \frac{36}{2} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.4

Cancele o fator comum de $36$ e $2$ .

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Etapa 4.8.2.3.4.1

Fatore $2$ de $36$ .

$180 + \frac{2 \cdot 18}{2} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.8.2.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$180 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$180 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$180 + \frac{18}{1} - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.4.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$180 + 18 - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.5

Some $180$ e $18$ .

$198 - (30 \cdot - 5 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.6

Multiplique $30$ por $- 5$ .

$198 - (- 150 + \frac{1}{2} {(- 5)}^{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.7

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$198 - (- 150 + \frac{1}{2} \cdot 25) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $25$ .

$198 - (- 150 + \frac{25}{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.9

Para escrever $- 150$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$198 - (- 150 \cdot \frac{2}{2} + \frac{25}{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.10

Combine $- 150$ e $\frac{2}{2}$ .

$198 - (\frac{- 150 \cdot 2}{2} + \frac{25}{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$198 - \frac{- 150 \cdot 2 + 25}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.8.2.3.12.1

Multiplique $- 150$ por $2$ .

$198 - \frac{- 300 + 25}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.12.2

Some $- 300$ e $25$ .

$198 - \frac{- 275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$198 - - \frac{275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.14

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$198 + 1 (\frac{275}{2}) - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.15

Multiplique $\frac{275}{2}$ por $1$ .

$198 + \frac{275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.16

Para escrever $198$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$198 \cdot \frac{2}{2} + \frac{275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.17

Combine $198$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{198 \cdot 2}{2} + \frac{275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{198 \cdot 2 + 275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.19

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.8.2.3.19.1

Multiplique $198$ por $2$ .

$\frac{396 + 275}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.19.2

Some $396$ e $275$ .

$\frac{671}{2} - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.20

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$\frac{671}{2} - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.21

Cancele o fator comum de $216$ e $3$ .

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Etapa 4.8.2.3.21.1

Fatore $3$ de $216$ .

$\frac{671}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.21.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.3.21.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{671}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.21.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{671}{2} - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.21.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{671}{2} - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.21.2.4

Divida $72$ por $1$ .

$\frac{671}{2} - (72 - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

Etapa 4.8.2.3.22

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$\frac{671}{2} - (72 - \frac{- 125}{3})$

Etapa 4.8.2.3.23

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{671}{2} - (72 - - \frac{125}{3})$

Etapa 4.8.2.3.24

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{671}{2} - (72 + 1 (\frac{125}{3}))$

Etapa 4.8.2.3.25

Multiplique $\frac{125}{3}$ por $1$ .

$\frac{671}{2} - (72 + \frac{125}{3})$

Etapa 4.8.2.3.26

Para escrever $72$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{671}{2} - (72 \cdot \frac{3}{3} + \frac{125}{3})$

Etapa 4.8.2.3.27

Combine $72$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{671}{2} - (\frac{72 \cdot 3}{3} + \frac{125}{3})$

Etapa 4.8.2.3.28

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{671}{2} - \frac{72 \cdot 3 + 125}{3}$

Etapa 4.8.2.3.29

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.3.29.1

Multiplique $72$ por $3$ .

$\frac{671}{2} - \frac{216 + 125}{3}$

Etapa 4.8.2.3.29.2

Some $216$ e $125$ .

$\frac{671}{2} - \frac{341}{3}$

Etapa 4.8.2.3.30

Para escrever $\frac{671}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{671}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{341}{3}$

Etapa 4.8.2.3.31

Para escrever $- \frac{341}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{671}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{341}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 4.8.2.3.32

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.3.32.1

Multiplique $\frac{671}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{671 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{341}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 4.8.2.3.32.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{671 \cdot 3}{6} - \frac{341}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 4.8.2.3.32.3

Multiplique $\frac{341}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{671 \cdot 3}{6} - \frac{341 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Etapa 4.8.2.3.32.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{671 \cdot 3}{6} - \frac{341 \cdot 2}{6}$

Etapa 4.8.2.3.33

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{671 \cdot 3 - 341 \cdot 2}{6}$

Etapa 4.8.2.3.34

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.3.34.1

Multiplique $671$ por $3$ .

$\frac{2013 - 341 \cdot 2}{6}$

Etapa 4.8.2.3.34.2

Multiplique $- 341$ por $2$ .

$\frac{2013 - 682}{6}$

Etapa 4.8.2.3.34.3

Subtraia $682$ de $2013$ .

$\frac{1331}{6}$

Etapa 5